$a$は定数とする。関数 $f(x) = (x^2+2x+2)^2 - 2a(x^2+2x+2) + a$ の最小値を$n$とする。 (1) $t = x^2 + 2x + 2$とする。$x$がすべての実数値をとって変化するとき、$t$のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $n$を$a$を用いて表せ。

1. 問題の内容

$a$は定数とする。関数 $f(x) = (x^2+2x+2)^2 - 2a(x^2+2x+2) + a$ の最小値を$n$とする。

(1) $t = x^2 + 2x + 2$とする。$x$がすべての実数値をとって変化するとき、$t$のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $n$を$a$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $t = x^2 + 2x + 2$ を平方完成する。

$t = x^2 + 2x + 1 + 1 = (x+1)^2 + 1$

$x$ がすべての実数値をとるので、$(x+1)^2 \ge 0$

したがって、$t \ge 1$

(2) $f(x) = (x^2+2x+2)^2 - 2a(x^2+2x+2) + a$ に $t = x^2+2x+2$ を代入する。

$f(x) = t^2 - 2at + a$

$f(x)$を平方完成する。

$f(x) = (t-a)^2 - a^2 + a$

$t$の範囲は$t \ge 1$である。

場合分けをする。

(i) $a < 1$ のとき

$t \ge 1$の範囲で、$t=1$のとき最小値をとる。

$n = (1-a)^2 - a^2 + a = 1 - 2a + a^2 - a^2 + a = 1 - a$

(ii) $a \ge 1$ のとき

$t \ge 1$の範囲で、$t=a$のとき最小値をとる。

$n = -a^2 + a$

3. 最終的な答え

(1) $t \ge 1$

(2)

$a < 1$ のとき $n = 1 - a$

$a \ge 1$ のとき $n = -a^2 + a$