与えられた4x4行列の行列式を計算し、その値を求める問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 5 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ 4 & -1 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算し、その値を求める問題です。行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

5 & 1 & -1 & -2 \\

1 & -2 & 3 & 4 \\

4 & -1 & 2 & 1 \\

-3 & 2 & 1 & 5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算する方法はいくつかありますが、ここでは行または列に関する展開を使用します。

まず、1行目を使って展開することを考えます。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

5 & 1 & -1 & -2 \\

1 & -2 & 3 & 4 \\

4 & -1 & 2 & 1 \\

-3 & 2 & 1 & 5

\end{vmatrix} &= 5 \begin{vmatrix} -2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix} + (-1)(-1) \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix}

\end{aligned}

$$

次に、各3x3行列の行列式を計算します。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix} -2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} &= -2(2*5 - 1*1) - 3(-1*5 - 1*2) + 4(-1*1 - 2*2) \\

&= -2(10 - 1) - 3(-5 - 2) + 4(-1 - 4) \\

&= -2(9) - 3(-7) + 4(-5) \\

&= -18 + 21 - 20 = -17

\end{aligned}

$$

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix} &= 1(2*5 - 1*1) - 3(4*5 - 1*(-3)) + 4(4*1 - 2*(-3)) \\

&= 1(10 - 1) - 3(20 + 3) + 4(4 + 6) \\

&= 1(9) - 3(23) + 4(10) \\

&= 9 - 69 + 40 = -20

\end{aligned}

$$

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} &= 1(-1*5 - 1*2) - (-2)(4*5 - 1*(-3)) + 4(4*2 - (-1)*(-3)) \\

&= 1(-5 - 2) + 2(20 + 3) + 4(8 - 3) \\

&= 1(-7) + 2(23) + 4(5) \\

&= -7 + 46 + 20 = 59

\end{aligned}

$$

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 1(-1*1 - 2*2) - (-2)(4*1 - 2*(-3)) + 3(4*2 - (-1)*(-3)) \\

&= 1(-1 - 4) + 2(4 + 6) + 3(8 - 3) \\

&= 1(-5) + 2(10) + 3(5) \\

&= -5 + 20 + 15 = 30

\end{aligned}

$$

したがって、

$$

\begin{vmatrix}

5 & 1 & -1 & -2 \\

1 & -2 & 3 & 4 \\

4 & -1 & 2 & 1 \\

-3 & 2 & 1 & 5

\end{vmatrix} = 5(-17) - 1(-20) + 1(59) + 2(30) = -85 + 20 + 59 + 60 = 54

$$

3. 最終的な答え

54