与えられた4つの3次方程式を因数定理を用いて解く問題です。 (1) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$ (2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ (3) $x^3 - x - 6 = 0$ (4) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの3次方程式を因数定理を用いて解く問題です。

(1) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$

(2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

(3) $x^3 - x - 6 = 0$

(4) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$

- $P(2) = 2^3 - 4(2^2) + 6(2) - 4 = 8 - 16 + 12 - 4 = 0$ より、$x=2$ は解。

- よって、$x-2$ は因数。組み立て除法を行う。

```

2 | 1 -4 6 -4

| 2 -4 4

----------------

1 -2 2 0

```

- $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = (x-2)(x^2 - 2x + 2) = 0$

- $x^2 - 2x + 2 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

- よって、$x = 2, 1+i, 1-i$

(2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$

- $P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ より、$x=1$ は解。

- よって、$x-1$ は因数。組み立て除法を行う。

```

1 | 1 -2 -5 6

| 1 -1 -6

----------------

1 -1 -6 0

```

- $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x-1)(x^2 - x - 6) = 0$

- $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0$

- よって、$x = 1, 3, -2$

(3) $x^3 - x - 6 = 0$

- $P(2) = 2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0$ より、$x=2$ は解。

- よって、$x-2$ は因数。組み立て除法を行う。

```

2 | 1 0 -1 -6

| 2 4 6

----------------

1 2 3 0

```

- $x^3 - x - 6 = (x-2)(x^2 + 2x + 3) = 0$

- $x^2 + 2x + 3 = 0$ を解く。解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -1 \pm \sqrt{2}i$

- よって、$x = 2, -1+\sqrt{2}i, -1-\sqrt{2}i$

(4) $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0$

- $P(3) = 3^3 - 3(3^2) + 4(3) - 12 = 27 - 27 + 12 - 12 = 0$ より、$x=3$ は解。

- よって、$x-3$ は因数。組み立て除法を行う。

```

3 | 1 -3 4 -12

| 3 0 12

----------------

1 0 4 0

```

- $x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = (x-3)(x^2 + 4) = 0$

- $x^2 + 4 = 0$ を解く。 $x^2 = -4$ より、$x = \pm 2i$

- よって、$x = 3, 2i, -2i$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, 1+i, 1-i$

(2) $x = 1, 3, -2$

(3) $x = 2, -1+\sqrt{2}i, -1-\sqrt{2}i$

(4) $x = 3, 2i, -2i$