与えられた2つの方程式の解を求める問題です。 (5) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$ (6) $x^6 - 7x^2 - 6 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの方程式の解を求める問題です。

(5) $x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$

(6) $x^6 - 7x^2 - 6 = 0$

2. 解き方の手順

(5)

まず、$x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = 0$ の解を求めます。

この方程式の係数は整数なので、整数解を探します。定数項の約数である $x = 1, 2, 4, -1, -2, -4$ を試してみます。

$x = 2$ を代入すると、

$2^3 - 4(2^2) + 6(2) - 4 = 8 - 16 + 12 - 4 = 0$

したがって、$x = 2$ は解の1つです。

次に、与えられた式を $(x - 2)$ で割ります。

$x^3 - 4x^2 + 6x - 4 = (x - 2)(x^2 - 2x + 2)$

$x^2 - 2x + 2 = 0$ の解を求めます。

解の公式を使うと、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

(6)

次に、$x^6 - 7x^2 - 6 = 0$ の解を求めます。

$y=x^2$ とおくと、$x^6 = (x^2)^3 = y^3$ となり、

$y^3 - 7y - 6 = 0$

この方程式の係数は整数なので、整数解を探します。定数項の約数である $y = 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6$ を試してみます。

$y = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0$

したがって、$y = -2$ は解の1つです。

$y = 3$ を代入すると、

$3^3 - 7(3) - 6 = 27 - 21 - 6 = 0$

したがって、$y = 3$ は解の1つです。

$y = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$

したがって、$y = -1$ は解の1つです。

$y^3 - 7y - 6 = (y+1)(y+2)(y-3) = 0$

$y = -1, -2, 3$

$x^2 = -1$ より $x = \pm i$

$x^2 = -2$ より $x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$

$x^2 = 3$ より $x = \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(5) $x = 2, 1 + i, 1 - i$

(6) $x = \pm i, \pm i\sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$