3次方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、次の式の値を求めよ。 (1) $\omega^2 + \omega$ (2) $\omega^{18}$ (3) $\omega^6 + \omega^4 + \omega^2$ (4) $\omega + \frac{1}{\omega}$ (5) $\omega^{2000}$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、次の式の値を求めよ。

(1) $\omega^2 + \omega$

(2) $\omega^{18}$

(3) $\omega^6 + \omega^4 + \omega^2$

(4) $\omega + \frac{1}{\omega}$

(5) $\omega^{2000}$

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$ を変形すると、$x^3 - 1 = 0$ となり、因数分解すると $(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$ となる。$\omega$ は虚数解なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を満たす。したがって、$\omega^3 = 1$ である。

(1) $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + \omega = -1$

(2) $\omega^{18} = (\omega^3)^6 = 1^6 = 1$

(3) $\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$。$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$。よって、$\omega^6 + \omega^4 + \omega^2 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$

(4) $\omega + \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2 + 1}{\omega} = \frac{-\omega}{\omega} = -1$ (ただし、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + 1 = -\omega$)

別解：$\omega + \frac{1}{\omega}=\frac{\omega^2+1}{\omega}$. $x^3=1$の解$\omega$は$\omega \neq 0$なので、$\omega^3=1$より、$\omega^2 = \frac{1}{\omega}$。 よって$\omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2$. (1)より、$\omega + \omega^2=-1$.

(5) $\omega^{2000} = \omega^{3 \times 666 + 2} = (\omega^3)^{666} \cdot \omega^2 = 1^{666} \cdot \omega^2 = \omega^2$

$\omega^2 + \omega + 1=0$ より $\omega = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$.

$\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$, or $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 1

(3) 0

(4) -1

(5) $\omega^2$