与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $8x^3 + 27$ (2) $4x - 32x^4$ (3) $8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$ (4) $x^3 - 6x^2 - 4x + 24$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $8x^3 + 27$

(2) $4x - 32x^4$

(3) $8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$

(4) $x^3 - 6x^2 - 4x + 24$

2. 解き方の手順

(1) $8x^3 + 27$

これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 = (2x)^3$、 $27 = 3^3$ なので、

$8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x+3)((2x)^2 - (2x)(3) + 3^2) = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(2) $4x - 32x^4$

まず、共通因数の $4x$ でくくります。

$4x - 32x^4 = 4x(1 - 8x^3)$

次に、$1 - 8x^3 = 1^3 - (2x)^3$ なので、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$1 - 8x^3 = (1 - 2x)(1^2 + (1)(2x) + (2x)^2) = (1-2x)(1+2x+4x^2)$

したがって、

$4x - 32x^4 = 4x(1-2x)(1+2x+4x^2)$

(3) $8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$

これは $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を利用します。

$8a^3 = (2a)^3$、 $27 = 3^3$ なので、$a=2a$, $b=3$ と考えると、

$(2a-3)^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2(3) + 3(2a)(3)^2 - (3)^3 = 8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$

したがって、

$8a^3 - 36a^2 + 54a - 27 = (2a-3)^3$

(4) $x^3 - 6x^2 - 4x + 24$

$x^2$ と $x$ でグループ分けして共通因数を見つけます。

$x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = x^2(x-6) - 4(x-6) = (x^2-4)(x-6)$

さらに、$x^2 - 4 = x^2 - 2^2$ なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用します。

$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$

したがって、

$x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = (x+2)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$

(2) $4x(1-2x)(1+2x+4x^2)$

(3) $(2a-3)^3$

(4) $(x+2)(x-2)(x-6)$