複素数平面上の点 $z$ を点 $\alpha z$ に移す変換が、点 $z$ をどのように移動させる変換であるかを答える問題です。ここで、$\alpha = \sqrt{3} - i$ です。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ を点 $\alpha z$ に移す変換が、点 $z$ をどのように移動させる変換であるかを答える問題です。ここで、$\alpha = \sqrt{3} - i$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $\alpha$ は、極形式で表すと回転と拡大を表すことができます。まず、$\alpha$ の絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を求めます。

$\alpha = \sqrt{3} - i$ なので、

$r = |\alpha| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$ と表せます。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ および $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ です。

したがって、$\alpha = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$ と極形式で表せます。

点 $z$ を点 $\alpha z$ に移す変換は、原点を中心に $-\frac{\pi}{6}$ だけ回転させ、原点からの距離を2倍にする変換です。

3. 最終的な答え

点 $z$ を原点を中心に $-\frac{\pi}{6}$ (時計回りに$\frac{\pi}{6}$)だけ回転させ、原点からの距離を2倍にした点。