二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、点 $(-1, 0)$ と $(3, 8)$ を通り、直線 $y = 2x + 6$ に接するとき、$a, b, c$ の値を求めます。

## 問1

1. 問題の内容

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが、点 $(-1, 0)$ と $(3, 8)$ を通り、直線 $y = 2x + 6$ に接するとき、$a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(-1, 0)$ と $(3, 8)$ を通るので、以下の式が成り立ちます。

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$

$a(3)^2 + b(3) + c = 8$

これらを整理すると、

$a - b + c = 0$ (1)

$9a + 3b + c = 8$ (2)

(2) 直線 $y = 2x + 6$ に接するという条件を使います。

$ax^2 + bx + c = 2x + 6$

$ax^2 + (b - 2)x + (c - 6) = 0$

この二次方程式が重解を持つので、判別式 $D = 0$ となります。

$D = (b - 2)^2 - 4a(c - 6) = 0$

$b^2 - 4b + 4 - 4ac + 24a = 0$ (3)

(3) 式 (1) より、$c = b - a$。これを式 (2) に代入します。

$9a + 3b + b - a = 8$

$8a + 4b = 8$

$2a + b = 2$

$b = 2 - 2a$ (4)

(4) $c = b - a$ に式 (4) を代入します。

$c = (2 - 2a) - a = 2 - 3a$ (5)

(5) 式 (4) と (5) を式 (3) に代入します。

$(2 - 2a)^2 - 4(2 - 2a) + 4 - 4a(2 - 3a - 6) = 0$

$4 - 8a + 4a^2 - 8 + 8a + 4 - 4a(-4 - 3a) = 0$

$4a^2 + 16a + 12a^2 = 0$

$16a^2 + 16a = 0$

$16a(a + 1) = 0$

$a = 0$ または $a = -1$

$a = 0$ のとき、二次関数にならないので、$a = -1$。

式 (4) より、$b = 2 - 2(-1) = 4$

式 (5) より、$c = 2 - 3(-1) = 5$

3. 最終的な答え

$a = -1$, $b = 4$, $c = 5$

## 問2

1. 問題の内容

座標平面上の2点 $(5, 0)$ と $(3, 6)$ から直線 $m$ に下ろした垂線の長さが等しいとき、原点を通る直線 $m$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $m$ は原点を通るので、$m$ の方程式は $y = kx$ と表せます。これは $kx - y = 0$ とも書けます。

(2) 点 $(x_1, y_1)$ から直線 $ax + by + c = 0$ への垂線の長さ $d$ は、

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられます。

(3) 点 $(5, 0)$ から直線 $kx - y = 0$ への垂線の長さ $d_1$ は、

$d_1 = \frac{|5k - 0|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \frac{|5k|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

(4) 点 $(3, 6)$ から直線 $kx - y = 0$ への垂線の長さ $d_2$ は、

$d_2 = \frac{|3k - 6|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \frac{|3k - 6|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

(5) $d_1 = d_2$ より、

$\frac{|5k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|3k - 6|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

$|5k| = |3k - 6|$

(6) 絶対値を外すと、

$5k = 3k - 6$ または $5k = -(3k - 6)$

(7) $5k = 3k - 6$ のとき、

$2k = -6$

$k = -3$

(8) $5k = -(3k - 6)$ のとき、

$5k = -3k + 6$

$8k = 6$

$k = \frac{3}{4}$

(9) よって、直線 $m$ の方程式は $y = -3x$ または $y = \frac{3}{4}x$ となります。

3. 最終的な答え

$y = -3x$ または $y = \frac{3}{4}x$