与えられた3つの連立一次方程式を解きます。 (1) $2x - y - z = -5$ $4x - 5y - 2z = -1$ $-2x + 3y + z = 3$ (2) $x_1 + 2x_2 - x_4 = -4$ $-2x_1 - x_2 + 6x_3 + 5x_4 = -1$ $3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + 3x_4 = -10$ (3) $x + 2y - 2z = 0$ $2x - y + 3z = 2$ $3x + 2z = -1$
2025/6/13
1. 問題の内容
与えられた3つの連立一次方程式を解きます。
(1)
(2)
(3)
2. 解き方の手順
(1)
1. 1式を2倍して2式から引くと、$-3y = -9$、よって$y = 3$。
2. 1式に3式を加えると、$2y = -2$、よって$y = -1$。これは矛盾しているため解なし。
(2)
1. 1式を2倍して2式に加えると、$3x_2 + 6x_3 + 3x_4 = -9$、すなわち$x_2 + 2x_3 + x_4 = -3$
2. 1式を3倍して3式から引くと、$-2x_2 + 2x_3 + 6x_4 = 2$、すなわち$-x_2 + x_3 + 3x_4 = 1$
3. $x_2 + 2x_3 + x_4 = -3$と$-x_2 + x_3 + 3x_4 = 1$を足し合わせると、$3x_3 + 4x_4 = -2$
4. $x_1 = -4 - 2x_2 + x_4$を3式に代入すると、$3(-4-2x_2+x_4) + 4x_2 + 2x_3 + 3x_4 = -10$。整理すると、$-2x_2 + 2x_3 + 6x_4 = 2$となり、$-x_2 + x_3 + 3x_4 = 1$となる。
5. $x_2 = -3 - 2x_3 - x_4$を$-x_2 + x_3 + 3x_4 = 1$に代入すると、 $3 + 2x_3 + x_4 + x_3 + 3x_4 = 1$、整理すると、$3x_3 + 4x_4 = -2$。
6. $x_3 = \frac{-2-4x_4}{3}$。これを$x_2 = -3 - 2x_3 - x_4$に代入すると、$x_2 = -3 - 2(\frac{-2-4x_4}{3}) - x_4 = \frac{-9 + 4 + 8x_4 - 3x_4}{3} = \frac{-5 + 5x_4}{3}$
7. $x_1 = -4 - 2x_2 + x_4 = -4 - 2(\frac{-5+5x_4}{3}) + x_4 = \frac{-12 + 10 - 10x_4 + 3x_4}{3} = \frac{-2-7x_4}{3}$
解は、
(3)
1. 1式より$x = -2y + 2z$。これを2式に代入すると、$2(-2y+2z) - y + 3z = 2$、整理すると、$-5y + 7z = 2$。
2. 同様に、1式を3式に代入すると、$3(-2y+2z) + 2z = -1$、整理すると、$-6y + 8z = -1$。
3. $-5y + 7z = 2$を6倍、$-6y + 8z = -1$を5倍すると、$-30y + 42z = 12$、$-30y + 40z = -5$。
4. 辺々引くと、$2z = 17$、よって$z = \frac{17}{2}$。
5. $-5y + 7(\frac{17}{2}) = 2$、$-5y + \frac{119}{2} = 2$、$-10y + 119 = 4$、$10y = 115$、よって$y = \frac{23}{2}$。
6. $x = -2(\frac{23}{2}) + 2(\frac{17}{2}) = -23 + 17 = -6$。
3. 最終的な答え
(1) 解なし
(2)
(3)