与えられた不定方程式 $15(x+2) + 4(y-4) = 0$ の整数解 $x$ と $y$ を、$x = 12k - 3$, $y = 45k + 6$ の形式で求める問題です（$k$ は整数）。指示された形式で解を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた不定方程式 $15(x+2) + 4(y-4) = 0$ の整数解 $x$ と $y$ を、$x = 12k - 3$, $y = 45k + 6$ の形式で求める問題です（$k$ は整数）。指示された形式で解を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$15(x+2) + 4(y-4) = 0$

$15x + 30 + 4y - 16 = 0$

$15x + 4y + 14 = 0$

$15x + 4y = -14$

ここで、$x = ak + b$ および $y = ck + d$ の形式の解を仮定します。

指示された形式 $x = 12k - 3$ と $y = 45k + 6$ を与えられた方程式に代入します。

$15(12k - 3) + 4(45k + 6) = -14$

$180k - 45 + 180k + 24 = -14$

$360k - 21 = -14$

$360k = 7$

しかし、$k$ は整数であるため、$360k = 7$ を満たす整数 $k$ は存在しません。したがって、与えられた形式の解は元の方程式を満たしていません。

しかし問題文に指定された形式で答えなければならないので、形式を尊重して計算を進めます。

$15x + 4y = -14$ で、$x = 12k - 3$ と $y = -45k + c$を仮定します。

$15(12k - 3) + 4y = -14$

$180k - 45 + 4y = -14$

$4y = -180k + 31$

$y = -45k + \frac{31}{4}$

これは整数解ではないので、題意を満たしません。

$x = 12k - 2$, $y = -45k + 4$だとすると、

$15(x+2) + 4(y-4) = 0$

$15(12k-2+2) + 4(-45k+4-4) = 0$

$15(12k) + 4(-45k) = 0$

$180k - 180k = 0$

$0 = 0$

題意の式を満たしている。

$x = 4k - 2$, $y = -15k + 4$だとすると、

$15(x+2) + 4(y-4) = 0$

$15(4k-2+2) + 4(-15k+4-4) = 0$

$15(4k) + 4(-15k) = 0$

$60k - 60k = 0$

$0 = 0$

題意の式を満たしている。

元の式から、$15x + 4y = -14$

$15 * (-2) + 4 * 4 = -30 + 16 = -14$

なので、特定解は$x = -2$, $y = 4$

$15x + 4y = -14$

$15 * (-2+4k) + 4*(4-15k) = -14$

$-30 + 60k + 16 - 60k = -14$

$-14 = -14$

したがって $x = -2+4k$, $y=4-15k$

$x = 4k - 2$, $y = -15k + 4$

形式があわないので、元の解答は間違っている。

$x = 4k + a$ とすると

$15(4k + a + 2) + 4(y - 4) = 0$

$60k + 15a + 30 + 4(y - 4) = 0$

$4(y-4) = -60k - 15a - 30$

$y - 4 = -15k - \frac{15}{4}a - \frac{30}{4}$

$y = -15k - \frac{15}{4}a - \frac{30}{4} + 4$

$y = -15k - \frac{15}{4}a - \frac{14}{4}$

$y = -15k - \frac{15}{4}a - \frac{7}{2}$

$a = -2$

$x = 4k - 2$, $y = -15k + 4$

3. 最終的な答え

問題文の形式を尊重すると、問題文が誤りである可能性があります。与えられた形式では、$15(x+2) + 4(y-4) = 0$を満たす整数解は存在しないからです。しかし、もし問題文の形式を尊重して整数解を求めるとしたら、

$x = 4k - 2$

$y = -15k + 4$

となります。

しかし、与えられた問題文に従うと、指定された形式を満たすことができません。最も近いとすれば、$x = 12k + a$, $y = b*k + c$の形を探すことになります。

$x = \frac{4}{15} k - 2$

$y = -k + 4$

k = 0のときx = -2 y = 4

問題がおかしい？

一旦$x = 12k - 2$と$y = -45k+4$と仮定して計算してみる。

15(12k -2 + 2) + 4(-45k + 4 -4) = 0

15(12k) + 4(-45k) = 0

180k -180k = 0

なので題意を満たすので、

x = 12k - 2

y = -45k + 4

k = k + 1として、

x = 12k - 2

y = -45k + 4

$x=12k - 2$

$y=-45k+4$