ある高等学校の1年生全員が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人座れなくなる。また、1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

1. 問題の内容

ある高等学校の1年生全員が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人座れなくなる。また、1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

2. 解き方の手順

長椅子の数を $x$ 脚とする。

* 6人ずつ座る場合、座る生徒の数は $6x$ 人。15人が座れないので、生徒の総数は $6x + 15$ 人。

* 7人ずつ座る場合、使わない長椅子が3脚できるので、生徒が座っている長椅子の数は最大で $x-4$ 脚、最小で $x-3$ 脚。

* 最大の場合、$(x-4)$ 脚に7人ずつ座り、最後の1脚には誰も座っていないか、1人以上7人未満座っている。このことから、生徒の総数は $7(x-4)$ 人より大きく $7(x-4)+7$ 人未満。すなわち、

$7(x-4) < 6x+15$

* 最小の場合、$(x-3)$ 脚に7人ずつ座り、残りの３脚は使われていない。このことから、生徒の総数は、$7(x-3)-7$ 人より大きく、$7(x-3)$ 人以下。すなわち、

$6x+15 \le 7(x-3)$

以上の不等式を解く。

* $7(x-4) < 6x+15$

$7x - 28 < 6x + 15$

$x < 43$

* $6x+15 \le 7(x-3)$

$6x + 15 \le 7x - 21$

$36 \le x$

したがって、長椅子の数は36脚以上43脚未満である。

3. 最終的な答え

36脚以上42脚以下