定数 $m$ を用いた2次方程式が与えられたとき、判別式を用いて解の種類を判別する。 (1) $x^2 + 4x + m = 0$ (2) $x^2 - mx + 4 = 0$

1. 問題の内容

定数 $m$ を用いた2次方程式が与えられたとき、判別式を用いて解の種類を判別する。

(1) $x^2 + 4x + m = 0$

(2) $x^2 - mx + 4 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

(1) $x^2 + 4x + m = 0$ の場合:

$a = 1$, $b = 4$, $c = m$ であるから、判別式 $D$ は

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m$

よって、

$D > 0$ のとき、つまり $16 - 4m > 0$ より $m < 4$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D = 0$ のとき、つまり $16 - 4m = 0$ より $m = 4$ のとき、重解を持つ。

$D < 0$ のとき、つまり $16 - 4m < 0$ より $m > 4$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

(2) $x^2 - mx + 4 = 0$ の場合:

$a = 1$, $b = -m$, $c = 4$ であるから、判別式 $D$ は

$D = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 - 16$

よって、

$D > 0$ のとき、つまり $m^2 - 16 > 0$ より $m < -4$ または $m > 4$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D = 0$ のとき、つまり $m^2 - 16 = 0$ より $m = \pm 4$ のとき、重解を持つ。

$D < 0$ のとき、つまり $m^2 - 16 < 0$ より $-4 < m < 4$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 4x + m = 0$:

$m < 4$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$m = 4$ のとき、重解を持つ。

$m > 4$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

(2) $x^2 - mx + 4 = 0$:

$m < -4$ または $m > 4$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$m = \pm 4$ のとき、重解を持つ。

$-4 < m < 4$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。