与えられた行列を階段行列に変形する問題です。具体的には、以下の2つの行列をそれぞれ階段行列に変形します。 (1) $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & -9 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ -1 & -3 & 7 \\ -4 & -11 & 16 \\ 5 & 12 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列を階段行列に変形する問題です。具体的には、以下の2つの行列をそれぞれ階段行列に変形します。

(1)

$\begin{pmatrix}

-1 & 1 & -2 \\

3 & -2 & 1 \\

-2 & 3 & -9

\end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

-1 & -3 & 7 \\

-4 & -11 & 16 \\

5 & 12 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) の行列について

まず1行目を $-1$ 倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

3 & -2 & 1 \\

-2 & 3 & -9

\end{pmatrix}$

次に、2行目を「2行目 - 3 * 1行目」で更新します。

3行目を「3行目 + 2 * 1行目」で更新します。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -5 \\

0 & 1 & -5

\end{pmatrix}$

最後に、3行目を「3行目 - 2行目」で更新します。

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -5 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

(2) の行列について

まず、2行目を「2行目 + 1行目」で更新します。

3行目を「3行目 + 4 * 1行目」で更新します。

4行目を「4行目 - 5 * 1行目」で更新します。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & -1 & 12 \\

0 & -3 & 36 \\

0 & 2 & -24

\end{pmatrix}$

次に、2行目を $-1$ 倍します。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & 1 & -12 \\

0 & -3 & 36 \\

0 & 2 & -24

\end{pmatrix}$

3行目を「3行目 + 3 * 2行目」で更新します。

4行目を「4行目 - 2 * 2行目」で更新します。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & 1 & -12 \\

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) の階段行列は

$\begin{pmatrix}

1 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -5 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

(2) の階段行列は

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & 5 \\

0 & 1 & -12 \\

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$