1つの行に8個ずつ自然数を書き並べたとき、どの縦に並ぶ3つの数についても、最も小さい数と真ん中の数の積と、最も大きい数と真ん中の数の積との平均 $M$ は、真ん中の数の平方になることを証明せよ。ただし、縦に並ぶ3つの数の最も小さい数を $n$ （自然数）とする。

1. 問題の内容

1つの行に8個ずつ自然数を書き並べたとき、どの縦に並ぶ3つの数についても、最も小さい数と真ん中の数の積と、最も大きい数と真ん中の数の積との平均 $M$ は、真ん中の数の平方になることを証明せよ。ただし、縦に並ぶ3つの数の最も小さい数を $n$ （自然数）とする。

2. 解き方の手順

縦に並ぶ3つの数を $n$ を用いて表すと、$n$, $n+8$, $n+16$ となる。

真ん中の数は $n+8$ である。

最も小さい数と真ん中の数の積は $n(n+8)$ である。

最も大きい数と真ん中の数の積は $(n+16)(n+8)$ である。

これらの積の平均 $M$ は次のように表せる。

$M = \frac{n(n+8) + (n+16)(n+8)}{2}$

$M = \frac{(n+8)(n + n+16)}{2}$

$M = \frac{(n+8)(2n+16)}{2}$

$M = \frac{(n+8)2(n+8)}{2}$

$M = (n+8)(n+8)$

$M = (n+8)^2$

よって、$M$ は真ん中の数の平方 $(n+8)^2$ となる。

3. 最終的な答え

最も小さい数と真ん中の数の積と、最も大きい数と真ん中の数の積との平均は、真ん中の数の平方となる。