以下の5つの問題に答えます。 (1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。 (2) $x$ は実数とする。 $|x|<1$ は $x > -2$ であるための何条件か。 (3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形 $ABC$ において、$AC=5$, $BC=12$ である。$\angle A = \theta$ とするとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。 (4) 大人5人、子供4人から3人を選ぶとき、選んだ3人がすべて大人となる選び方と、選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方を求める。 (5) $a$ は定数とする。7個の値 $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ からなるデータにおいて、中央値は16である。このとき、$a$ の値とこのデータの四分位範囲を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の5つの問題に答えます。

(1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。

(2) $x$ は実数とする。 $|x|<1$ は $x > -2$ であるための何条件か。

(3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形 $ABC$ において、$AC=5$, $BC=12$ である。$\angle A = \theta$ とするとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。

(4) 大人5人、子供4人から3人を選ぶとき、選んだ3人がすべて大人となる選び方と、選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方を求める。

(5) $a$ は定数とする。7個の値 $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ からなるデータにおいて、中央値は16である。このとき、$a$ の値とこのデータの四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$3x^2 - 2xy - y^2 = (3x + y)(x - y)$

(2) 必要条件・十分条件

$|x|<1$ は $-1 < x < 1$ を意味します。

$x > -2$ は、$x$ が $-2$ より大きいことを意味します。

$-1 < x < 1$ ならば $x > -2$ は成り立ちますが、$x > -2$ であっても $-1 < x < 1$ とは限りません。

例えば、$x = 2$ の場合、$x > -2$ ですが、 $|x| < 1$ は成り立ちません。

したがって、$|x| < 1$ は $x > -2$ であるための十分条件であるが、必要条件ではありません。

よって、選択肢3が該当します。

(3) 三角比

直角三角形 $ABC$ において、$AC=5$, $BC=12$ なので、ピタゴラスの定理より

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$\angle A = \theta$ とすると、

$\tan \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$

$\sin \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$

(4) 組み合わせ

大人5人から3人を選ぶ選び方は ${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

9人から3人を選ぶ選び方は ${}_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り。

選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方は、全体から3人とも子供を選ぶ場合を除けば良い。

3人とも子供を選ぶ選び方は、${}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り。

よって、選んだ3人に大人も子供も含まれる選び方は $84 - 4 = 80$ 通り。

(5) 中央値と四分位範囲

与えられたデータを小さい順に並べると、$7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$。

中央値が16なので、並び替えたデータの真ん中の値が16になる。

$a-15$ と $a+1$ の大小関係が不明なので場合分けして考える。

(i) $a-15 < a+1 < 22$ の場合: $7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34$。中央値は$a+1$となり、$a+1=16$より$a=15$。

このとき、データは $7, 9, 12, 0, 16, 22, 34$ となり、$0$ は最小値、$34$ は最大値。

データを小さい順に並べ替えると $0, 7, 9, 12, 16, 22, 34$。

第一四分位数は $Q_1 = (7+9)/2 = 8$。第三四分位数は $Q_3 = (22+16)/2=19$。

四分位範囲は $Q_3 - Q_1 = 19 - 8 = 11$。

(ii) $a-15 < 22 < a+1$ の場合: $7, 9, 12, 22, a-15, a+1, 34$。中央値は22となり、条件に合わない。

(iii) $22 < a-15 < a+1$ の場合: $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$。中央値は22となり、条件に合わない。

したがって、$a = 15$ であり、データは $0, 7, 9, 12, 16, 22, 34$。四分位範囲は11。

3. 最終的な答え

(1) $(3x+y)(x-y)$

(2) 3

(3) $\tan \theta = \frac{12}{5}, \sin \theta = \frac{12}{13}$

(4) 10通り, 80通り

(5) $a = 15$, 四分位範囲は 11