2次方程式 $x^2 + 3x - m = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 3x - m = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が 0 になることである。判別式 $D$ は、$ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$D = b^2 - 4ac$ で与えられる。

今回の2次方程式 $x^2 + 3x - m = 0$ において、$a=1, b=3, c=-m$ であるから、判別式 $D$ は、

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 9 + 4m$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$9 + 4m = 0$

$4m = -9$

$m = -\frac{9}{4}$

次に、このときの重解を求める。

$m = -\frac{9}{4}$ を $x^2 + 3x - m = 0$ に代入すると、

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

両辺に4を掛けて、

$4x^2 + 12x + 9 = 0$

$(2x + 3)^2 = 0$

$2x + 3 = 0$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$m = -\frac{9}{4}$

重解は $x = -\frac{3}{2}$