関数 $f(x) = x^2 + 2ax + 2a$ について、$-2 \le x \le 0$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) $a=1$ のとき、$M$ と $m$ の値を求める。 (2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。また、$a > 2$ のとき、$m$ を $a$ を用いて表す。 (3) $M - m = 3a$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2ax + 2a$ について、$-2 \le x \le 0$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $a=1$ のとき、$M$ と $m$ の値を求める。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。また、$a > 2$ のとき、$m$ を $a$ を用いて表す。

(3) $M - m = 3a$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 + 2x + 2$ となる。

$f(x) = (x+1)^2 + 1$ と変形できるので、軸は $x = -1$ である。

$-2 \le x \le 0$ の範囲で、$f(-1) = 1$ が最小値 $m$ となる。

$f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

$f(0) = 0^2 + 2(0) + 2 = 2$

したがって、最大値 $M = 2$ となる。

(2) $f(x) = x^2 + 2ax + 2a$ を平方完成すると、

$f(x) = (x + a)^2 - a^2 + 2a$ となる。

よって、頂点の座標は $(-a, -a^2 + 2a)$ である。

$a > 2$ のとき、$-2 \le x \le 0$ の範囲で軸 $x = -a$ は範囲外にあるので、

$f(x)$ は単調増加である。

したがって、最小値は $f(-2) = (-2)^2 + 2a(-2) + 2a = 4 - 4a + 2a = 4 - 2a$ となる。

よって、$m = 4 - 2a$ である。

(3) $M - m = 3a$ となる $a$ の値を求める。

まず、$M$ を場合分けして求める。

$f(x)=(x+a)^2-a^2+2a$なので、軸は $x=-a$である。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、$x = -a$ が $-2 \le x \le 0$ の範囲に含まれるので、最小値は $m = -a^2 + 2a$ である。

最大値は $f(-2) = 4 - 2a$ と $f(0) = 2a$ を比較する。

$4 - 2a \ge 2a$ のとき、$4 \ge 4a$ なので、$1 \ge a$ である。このとき、$M = 4 - 2a$ となる。

$4 - 2a < 2a$ のとき、$4 < 4a$ なので、$1 < a \le 2$ である。このとき、$M = 2a$ となる。

(i-1) $0 < a \le 1$ のとき、$M = 4 - 2a$ なので、$M - m = (4 - 2a) - (-a^2 + 2a) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2 = 3a$ となる。

$a^2 - 7a + 4 = 0$ を解くと、$a = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 16}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}$ となる。

$0 < a \le 1$ を満たすのは、$a = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ である。

(i-2) $1 < a \le 2$ のとき、$M = 2a$ なので、$M - m = 2a - (-a^2 + 2a) = a^2 = 3a$ となる。

$a^2 - 3a = 0$ より、$a(a - 3) = 0$ となる。

$1 < a \le 2$ を満たす $a$ は存在しない。

(ii) $a > 2$ のとき、$f(x)$ は単調増加なので、$M = f(0) = 2a$, $m = f(-2) = 4 - 2a$ となる。

$M - m = 2a - (4 - 2a) = 4a - 4 = 3a$ より、$a = 4$ となる。これは $a > 2$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $M = 2, m = 1$

(2) 頂点の座標は $(-a, -a^2 + 2a)$、$m = 4 - 2a$

(3) $a = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}, 4$