3次方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $\omega^2 + \omega$ (2) $\omega^{18}$ (3) $\omega^6 + \omega^4 + \omega^2$ (4) $\omega + \frac{1}{\omega}$ (5) $\omega^{2000}$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とするとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $\omega^2 + \omega$

(2) $\omega^{18}$

(3) $\omega^6 + \omega^4 + \omega^2$

(4) $\omega + \frac{1}{\omega}$

(5) $\omega^{2000}$

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$ を変形すると、$x^3 - 1 = 0$ となります。

因数分解すると、 $(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$ となります。

$x = 1$ は実数解なので、虚数解は $x^2 + x + 1 = 0$ の解となります。

$\omega$ はこの方程式の解なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立ちます。

また、$\omega^3 = 1$ も成り立ちます。

(1) $\omega^2 + \omega$ について:

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + \omega = -1$

(2) $\omega^{18}$ について:

$\omega^{18} = (\omega^3)^6 = 1^6 = 1$

(3) $\omega^6 + \omega^4 + \omega^2$ について:

$\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$

$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$

よって、$\omega^6 + \omega^4 + \omega^2 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$

(4) $\omega + \frac{1}{\omega}$ について:

$\omega + \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2 + 1}{\omega}$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + 1 = -\omega$

よって、$\frac{\omega^2 + 1}{\omega} = \frac{-\omega}{\omega} = -1$

(5) $\omega^{2000}$ について:

$2000 = 3 \cdot 666 + 2$ なので、

$\omega^{2000} = \omega^{3 \cdot 666 + 2} = (\omega^3)^{666} \cdot \omega^2 = 1^{666} \cdot \omega^2 = \omega^2$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 = -\omega - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\omega^2 + \omega = -1$

(2) $\omega^{18} = 1$

(3) $\omega^6 + \omega^4 + \omega^2 = 0$

(4) $\omega + \frac{1}{\omega} = -1$

(5) $\omega^{2000} = \omega^2$