与えられた2つの行列の階数を求めます。行列は以下の通りです。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の階数を求めます。行列は以下の通りです。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数は、行列を簡約化したときに残る線形独立な行の数です。掃き出し法を用いて行列を簡約化し、階数を求めます。

(1)

与えられた行列は、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

これは階段行列になっているので、0でない行の数を数えます。0でない行は3つあります。

したがって、行列の階数は3です。

(2)

与えられた行列は、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & -18 & -18 \\ 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & -18 & -18 \\ 0 & 0 & -6 & -6 \\ 2 & 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & -18 & -18 \\ 0 & 0 & -6 & -6 \\ 0 & -2 & -10 & -12 \end{pmatrix}$

2行目を-18で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -6 & -6 \\ 0 & -2 & -10 & -12 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の6倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -10 & -12 \end{pmatrix}$

3行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -10 & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 0 & -2 & -10 & -12 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

これは階段行列になっているので、0でない行の数を数えます。0でない行は3つあります。

したがって、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 3