## 連立一次方程式を解く

## 連立一次方程式を解く

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1. 問題の内容

3つの連立一次方程式を解きます。

(1)

$2x - y - z = -5$

$4x - 5y - 2z = -1$

$-2x + 3y + z = 3$

(2)

$x_1 + 2x_2 - x_4 = -4$

$-2x_1 - x_2 + 6x_3 + 5x_4 = -1$

$3x_1 + 4x_2 + 2x_3 + 3x_4 = -10$

(3)

$x + 2y - 2z = 0$

$2x - y + 3z = 2$

$3x + 2z = -1$

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2. 解き方の手順

#### (1) の解き方

ガウスの消去法を用いて解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 & | & -5 \\

4 & -5 & -2 & | & -1 \\

-2 & 3 & 1 & | & 3

\end{bmatrix}$

1行目を2倍して2行目から引きます。また、1行目を加えて3行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 & | & -5 \\

0 & -3 & 0 & | & 9 \\

0 & 2 & 0 & | & -2

\end{bmatrix}$

2行目を-3で割ります。

$\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 & | & -5 \\

0 & 1 & 0 & | & -3 \\

0 & 2 & 0 & | & -2

\end{bmatrix}$

2行目を-2倍して3行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 & | & -5 \\

0 & 1 & 0 & | & -3 \\

0 & 0 & 0 & | & 4

\end{bmatrix}$

最後の行が $0=4$ となるため、この連立一次方程式は解を持ちません。

#### (2) の解き方

ガウスの消去法を用いて解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & -1 & | & -4 \\

-2 & -1 & 6 & 5 & | & -1 \\

3 & 4 & 2 & 3 & | & -10

\end{bmatrix}$

1行目を2倍して2行目に加えます。1行目を-3倍して3行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & -1 & | & -4 \\

0 & 3 & 6 & 3 & | & -9 \\

0 & -2 & 2 & 6 & | & 2

\end{bmatrix}$

2行目を3で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & -1 & | & -4 \\

0 & 1 & 2 & 1 & | & -3 \\

0 & -2 & 2 & 6 & | & 2

\end{bmatrix}$

2行目を2倍して3行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & -1 & | & -4 \\

0 & 1 & 2 & 1 & | & -3 \\

0 & 0 & 6 & 8 & | & -4

\end{bmatrix}$

3行目を6で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & -1 & | & -4 \\

0 & 1 & 2 & 1 & | & -3 \\

0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & | & -\frac{2}{3}

\end{bmatrix}$

3行目を-2倍して2行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & -1 & | & -4 \\

0 & 1 & 0 & -\frac{5}{3} & | & -\frac{5}{3} \\

0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & | & -\frac{2}{3}

\end{bmatrix}$

2行目を-2倍して1行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & \frac{7}{3} & | & -\frac{2}{3} \\

0 & 1 & 0 & -\frac{5}{3} & | & -\frac{5}{3} \\

0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & | & -\frac{2}{3}

\end{bmatrix}$

$x_4 = t$と置くと、

$x_1 = -\frac{7}{3}t - \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{5}{3}t - \frac{5}{3}$

$x_3 = -\frac{4}{3}t - \frac{2}{3}$

#### (3) の解き方

ガウスの消去法を用いて解きます。

まず、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -2 & | & 0 \\

2 & -1 & 3 & | & 2 \\

3 & 0 & 2 & | & -1

\end{bmatrix}$

1行目を-2倍して2行目に加えます。1行目を-3倍して3行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -2 & | & 0 \\

0 & -5 & 7 & | & 2 \\

0 & -6 & 8 & | & -1

\end{bmatrix}$

2行目を $-\frac{1}{5}$倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -2 & | & 0 \\

0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{2}{5} \\

0 & -6 & 8 & | & -1

\end{bmatrix}$

2行目を6倍して3行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -2 & | & 0 \\

0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{2}{5} \\

0 & 0 & -\frac{2}{5} & | & -\frac{17}{5}

\end{bmatrix}$

3行目を $-\frac{5}{2}$倍します。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -2 & | & 0 \\

0 & 1 & -\frac{7}{5} & | & -\frac{2}{5} \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{17}{2}

\end{bmatrix}$

3行目を $\frac{7}{5}$倍して2行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & -2 & | & 0 \\

0 & 1 & 0 & | & \frac{11}{2} \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{17}{2}

\end{bmatrix}$

3行目を2倍して1行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 2 & 0 & | & 17 \\

0 & 1 & 0 & | & \frac{11}{2} \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{17}{2}

\end{bmatrix}$

2行目を-2倍して1行目に加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & | & 6 \\

0 & 1 & 0 & | & \frac{11}{2} \\

0 & 0 & 1 & | & \frac{17}{2}

\end{bmatrix}$

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3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2)

$x_1 = -\frac{7}{3}t - \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{5}{3}t - \frac{5}{3}$

$x_3 = -\frac{4}{3}t - \frac{2}{3}$

$x_4 = t$ (tは任意の実数)

(3)

$x = 6$

$y = \frac{11}{2}$

$z = \frac{17}{2}$