$x, y$ は実数とします。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べてください。 (1) $x > y \implies x - y > 0$ (2) $xy \neq 0 \implies x \neq 0$

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とします。次の命題の真偽を調べ、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べてください。

(1) $x > y \implies x - y > 0$

(2) $xy \neq 0 \implies x \neq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x > y \implies x - y > 0$

* 元の命題: $x > y \implies x - y > 0$

* $x > y$ ならば $x - y > 0$ は常に成り立つので、元の命題は真です。

* 逆: $x - y > 0 \implies x > y$

* $x - y > 0$ ならば $x > y$ は常に成り立つので、逆も真です。

* 対偶: $x - y \leq 0 \implies x \leq y$

* $x - y \leq 0$ ならば $x \leq y$ は常に成り立つので、対偶も真です。

* 裏: $x \leq y \implies x - y \leq 0$

* $x \leq y$ ならば $x - y \leq 0$ は常に成り立つので、裏も真です。

(2) $xy \neq 0 \implies x \neq 0$

* 元の命題: $xy \neq 0 \implies x \neq 0$

* $xy \neq 0$ ならば、$x$ と $y$ はともに $0$ ではないので、$x \neq 0$ は真です。

* 逆: $x \neq 0 \implies xy \neq 0$

* $x \neq 0$ でも、$y = 0$ であれば、$xy = 0$ となるため、逆は偽です。

* 対偶: $x = 0 \implies xy = 0$

* $x = 0$ ならば、$xy = 0$ は常に成り立つので、対偶は真です。

* 裏: $xy = 0 \implies x = 0$

* $xy = 0$ で、$x$ が $0$ でなくても $y = 0$ であれば、$xy = 0$ となるため、裏は偽です。

3. 最終的な答え

(1)

* 元の命題: 真

* 逆: 真

* 対偶: 真

* 裏: 真

(2)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 真

* 裏: 偽