与えられた整式 $P = x^3 - 5x^2 + 10x - 6$ について、以下の問いに答えます。 (1) $P$ を $x^2 - 2x + 4$ で割ったときの商と余りを求めます。 (2) $x^2 - 2x = -4$ のとき、$P$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた整式 $P = x^3 - 5x^2 + 10x - 6$ について、以下の問いに答えます。

(1) $P$ を $x^2 - 2x + 4$ で割ったときの商と余りを求めます。

(2) $x^2 - 2x = -4$ のとき、$P$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 筆算または組み立て除法を用いて、$P$ を $x^2 - 2x + 4$ で割ります。

$x^3 - 5x^2 + 10x - 6$ を $x^2 - 2x + 4$ で割ると、商は $x - 3$、余りは $-2x + 6$ となります。

(2) $x^2 - 2x = -4$ を用いて、$P$ の値を求めます。

$P$ の式を $x^2 - 2x + 4$ で割った形に変形すると、

$P = (x^2 - 2x + 4)(x - 3) + (-2x + 6)$ となります。

$x^2 - 2x = -4$ より、$x^2 - 2x + 4 = -4 + 4 = 0$ となります。

したがって、$P = 0 \cdot (x - 3) + (-2x + 6) = -2x + 6$ となります。

ここで、$x^2 - 2x = -4$ より、$x^2 - 2x + 4 = 0$ です。この二次方程式の解は $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ となります。

$x = 1 + i\sqrt{3}$ のとき、$P = -2(1 + i\sqrt{3}) + 6 = -2 - 2i\sqrt{3} + 6 = 4 - 2i\sqrt{3}$

$x = 1 - i\sqrt{3}$ のとき、$P = -2(1 - i\sqrt{3}) + 6 = -2 + 2i\sqrt{3} + 6 = 4 + 2i\sqrt{3}$

しかし、問題文の条件から、$x^2-2x+4$で割った余りを求める際に、$x^2-2x=-4$であることから、

$P = (x^2-2x+4)(x-3) -2x+6 = 0 \times (x-3) -2x+6 = -2x+6$.

ここで、$x^2-2x=-4$ を変形すると $x^2-2x+4=0$. これを$P = x^3 - 5x^2 + 10x - 6$ に代入して計算します。

$P = x(x^2 - 2x + 4) - 3x^2 + 6x - 6 = x(0) - 3(x^2 - 2x) - 6 = 0 - 3(-4) - 6 = 12 - 6 = 6$.

3. 最終的な答え

(1) 商：$x - 3$, 余り：$-2x + 6$

(2) $P = 6$