$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、 $a = bk$ および $c = dk$ となる $k$ が存在する。

このとき、$\frac{a-b}{a+b}$ と $\frac{c-d}{c+d}$ を $k$ を用いて表し、それらが等しいことを示す。

$\frac{a-b}{a+b}$ に $a=bk$ を代入すると、

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{bk-b}{bk+b} = \frac{b(k-1)}{b(k+1)} = \frac{k-1}{k+1}$

同様に、$\frac{c-d}{c+d}$ に $c=dk$ を代入すると、

$\frac{c-d}{c+d} = \frac{dk-d}{dk+d} = \frac{d(k-1)}{d(k+1)} = \frac{k-1}{k+1}$

したがって、$\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}$ が成り立つ。