$0 \le x \le 8$ のすべての $x$ の値に対して、不等式 $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 8$ のすべての $x$ の値に対して、不等式 $x^2 - 2mx + m + 6 > 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を $f(x) = x^2 - 2mx + m + 6$ とおきます。

$f(x) > 0$ が $0 \le x \le 8$ の範囲で常に成り立つ条件を考えます。

$f(x)$ は下に凸な放物線であるため、この範囲で $f(x) > 0$ となる条件は、区間 $0 \le x \le 8$ における $f(x)$ の最小値が正であることです。

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x - m)^2 - m^2 + m + 6$

頂点の $x$ 座標は $x = m$ です。

(i) $m < 0$ の場合、区間 $0 \le x \le 8$ において $f(x)$ は単調減少するので、最小値は $f(8)$ です。

$f(8) = 64 - 16m + m + 6 = 70 - 15m > 0$

$15m < 70$

$m < \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$

$m < 0$ と $m < \frac{14}{3}$ より、$m < 0$

(ii) $0 \le m \le 8$ の場合、区間 $0 \le x \le 8$ における $f(x)$ の最小値は頂点における値 $f(m)$ です。

$f(m) = -m^2 + m + 6 > 0$

$m^2 - m - 6 < 0$

$(m - 3)(m + 2) < 0$

$-2 < m < 3$

$0 \le m \le 8$ と $-2 < m < 3$ より、$0 \le m < 3$

(iii) $m > 8$ の場合、区間 $0 \le x \le 8$ において $f(x)$ は単調増加するので、最小値は $f(0)$ です。

$f(0) = m + 6 > 0$

$m > -6$

$m > 8$ と $m > -6$ より、$m > 8$

(i), (ii), (iii) を合わせると、$m < 0$ または $0 \le m < 3$ または $m > 8$ です。

したがって、$m < 3$ または $m > 8$ となります。

3. 最終的な答え

$m < 3$ または $m > 8$