2つの2次正方行列について、それぞれの逆行列を求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

## 確認問題 8-1

1. 問題の内容

2つの2次正方行列について、それぞれの逆行列を求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

2次正方行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、行列式を $\Delta = ad - bc$ とすると、

$\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で求められます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の場合:

行列式は $\Delta_A = (1)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1$

よって、逆行列 $A^{-1}$ は

$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ の場合:

行列式は $\Delta_B = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

よって、逆行列 $B^{-1}$ は

$B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

## 確認問題 8-2

1. 問題の内容

確認問題8-1の(2)で求めた逆行列$B^{-1}$が正しいかどうかを$B^{-1}B = I_2$を計算することで確認する問題です。

2. 解き方の手順

$B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$と$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$の積を計算します。

$B^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(1) + (1)(3) & (-2)(2) + (1)(4) \\ (\frac{3}{2})(1) + (-\frac{1}{2})(3) & (\frac{3}{2})(2) + (-\frac{1}{2})(4) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -2 + 3 & -4 + 4 \\ \frac{3}{2} - \frac{3}{2} & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$

3. 最終的な答え

$B^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$となるため、$B^{-1}$は正しい逆行列である。

## 確認問題 8-3

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ に対して、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ケーリー・ハミルトンの定理とは、行列 $A$ の固有多項式を $p(\lambda)$ とすると、$p(A) = 0$ が成り立つというものです。

まず、$A$ の固有多項式を求めます。

$p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - (-1)(1) = \lambda^2 + 1$

よって、$A^2 + I = 0$ が成り立ちます。つまり、$A^2 = -I$ です。

これを利用して $A^n$ を求めます。

$n$ が偶数のとき、$n = 2k$ とすると、

$A^n = A^{2k} = (A^2)^k = (-I)^k = (-1)^k I$

$n$ が奇数のとき、$n = 2k+1$ とすると、

$A^n = A^{2k+1} = A^{2k} A = (A^2)^k A = (-I)^k A = (-1)^k A$

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{cases}

(-1)^{n/2} I & \text{if } n \text{ is even} \\

(-1)^{(n-1)/2} A & \text{if } n \text{ is odd}

\end{cases}$

具体的に書くと、

$A^n = \begin{cases}

\begin{pmatrix} (-1)^{n/2} & 0 \\ 0 & (-1)^{n/2} \end{pmatrix} & \text{if } n \text{ is even} \\

\begin{pmatrix} 0 & -(-1)^{(n-1)/2} \\ (-1)^{(n-1)/2} & 0 \end{pmatrix} & \text{if } n \text{ is odd}

\end{cases}$