複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられています。 $\alpha = 4(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)$ $\beta = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ $\alpha \beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表してください。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられています。

$\alpha = 4(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)$

$\beta = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

$\alpha \beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ をそれぞれ極形式で表してください。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。

2. 解き方の手順

複素数の積と商を極形式で計算します。

まず、$\alpha \beta$ を計算します。

$\alpha \beta = 4\sqrt{2} \left[ \cos\left(\frac{3}{4}\pi + \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{3}{4}\pi + \frac{\pi}{6}\right) \right]$

$\frac{3}{4}\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi + 2\pi}{12} = \frac{11}{12}\pi$ なので、

$\alpha \beta = 4\sqrt{2} \left( \cos\frac{11}{12}\pi + i\sin\frac{11}{12}\pi \right)$

次に、$\frac{\alpha}{\beta}$ を計算します。

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{4}{\sqrt{2}} \left[ \cos\left(\frac{3}{4}\pi - \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{3}{4}\pi - \frac{\pi}{6}\right) \right]$

$\frac{3}{4}\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7}{12}\pi$ なので、

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{7}{12}\pi + i\sin\frac{7}{12}\pi \right)$

3. 最終的な答え

$\alpha \beta = 4\sqrt{2} \left( \cos\frac{11}{12}\pi + i\sin\frac{11}{12}\pi \right)$

$\frac{\alpha}{\beta} = 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{7}{12}\pi + i\sin\frac{7}{12}\pi \right)$