与えられた関数について、指定された定義域におけるyの値域を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数と定義域が与えられています。 (1) $y = 3x + 5$ (1から4まで) (2) $y = -x^2 + 1$ (-1から3まで) (3) $y = x^2$ (aからbまで)

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された定義域におけるyの値域を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数と定義域が与えられています。

(1) $y = 3x + 5$ (1から4まで)

(2) $y = -x^2 + 1$ (-1から3まで)

(3) $y = x^2$ (aからbまで)

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x + 5$ (1から4まで)

これは一次関数なので、定義域の端の値を代入すれば値域が求まります。

$x = 1$ のとき $y = 3(1) + 5 = 8$

$x = 4$ のとき $y = 3(4) + 5 = 17$

したがって、値域は $8 \le y \le 17$

(2) $y = -x^2 + 1$ (-1から3まで)

これは上に凸な二次関数です。頂点のy座標を求め、定義域における最大値と最小値を調べます。

$y = -x^2 + 1$ の頂点は $(0, 1)$ です。

$x = -1$ のとき $y = -(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$

$x = 3$ のとき $y = -(3)^2 + 1 = -9 + 1 = -8$

$x = 0$ は定義域に含まれるので、最大値は 1 です。最小値は -8 です。

したがって、値域は $-8 \le y \le 1$

(3) $y = x^2$ (aからbまで)

これは下に凸な二次関数です。$a$ と $b$ の値が不明なので、場合分けが必要です。

i) $0 \le a < b$: 値域は $a^2 \le y \le b^2$

ii) $a < b \le 0$: 値域は $b^2 \le y \le a^2$

iii) $a < 0 < b$: 値域は $0 \le y \le \max(a^2, b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $8 \le y \le 17$

(2) $-8 \le y \le 1$

(3)

i) $0 \le a < b$: $a^2 \le y \le b^2$

ii) $a < b \le 0$: $b^2 \le y \le a^2$

iii) $a < 0 < b$: $0 \le y \le \max(a^2, b^2)$