2つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を調べる。 (1) 実数 $x$ に関する条件 $p: x \leq 2$ と $q: x \leq 4$ (2) 自然数 $m$ に関する条件 $p: m$ は $12$ の正の約数, $q: m$ は $18$ の正の約数

1. 問題の内容

2つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \Rightarrow q$ の真偽を調べる。

(1) 実数 $x$ に関する条件 $p: x \leq 2$ と $q: x \leq 4$

(2) 自然数 $m$ に関する条件 $p: m$ は $12$ の正の約数, $q: m$ は $18$ の正の約数

2. 解き方の手順

(1)

条件 $p$ を満たす $x$ の集合を $P$, 条件 $q$ を満たす $x$ の集合を $Q$ とする。

$P = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2 \}$

$Q = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq 4 \}$

$P \subset Q$ であるので、命題 $p \Rightarrow q$ は真である。

(2)

条件 $p$ を満たす $m$ の集合を $P$, 条件 $q$ を満たす $m$ の集合を $Q$ とする。

$P = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 \}$ (12の正の約数)

$Q = \{ 1, 2, 3, 6, 9, 18 \}$ (18の正の約数)

$P \not\subset Q$ であるので、命題 $p \Rightarrow q$ は偽である。

反例は $m = 4, 12$

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽 (反例: $m = 4, 12$)