与えられた数列の総和を求める問題です。数列は $4k+7$ であり、$k$ は $1$ から $n-1$ までの整数です。つまり、次の総和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7)$

1. 問題の内容

与えられた数列の総和を求める問題です。数列は $4k+7$ であり、$k$ は $1$ から $n-1$ までの整数です。つまり、次の総和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7)$

2. 解き方の手順

総和の性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (4k+7) = \sum_{k=1}^{n-1} 4k + \sum_{k=1}^{n-1} 7$

定数を総和の外に出します。

$= 4 \sum_{k=1}^{n-1} k + 7 \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$ を使用します。

$= 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 7(n-1)$

$= 2n(n-1) + 7(n-1)$

共通因数 $(n-1)$ でくくります。

$= (n-1)(2n+7)$

$= 2n^2 + 7n - 2n - 7$

$= 2n^2 + 5n - 7$

3. 最終的な答え

$2n^2+5n-7$