与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、以下の計算を行いなさい。 (i) $AB$ (ii) $2B$ (iii) $A^2$ 存在しない場合は、その理由を述べること。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、行列の計算問題であることがわかりました。以下に解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、以下の計算を行いなさい。

(i) $AB$

(ii) $2B$

(iii) $A^2$

存在しない場合は、その理由を述べること。

2. 解き方の手順

(0) の場合

(i) $AB$ の計算

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$

行列 $A$ は $2 \times 2$ 行列、行列 $B$ は $3 \times 2$ 行列であるため、$AB$ は定義されません。

(ii) $2B$ の計算

$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$

$2B = 2 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$

(iii) $A^2$ の計算

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 3 + (-1) \times 5 & 3 \times (-1) + (-1) \times 2 \\ 5 \times 3 + 2 \times 5 & 5 \times (-1) + 2 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9-5 & -3-2 \\ 15+10 & -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 25 & -1 \end{pmatrix}$

(1) の場合

(i) $AB$ の計算

$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

行列 $A$ は $3 \times 2$ 行列、行列 $B$ は $2 \times 2$ 行列であるため、$AB$ は定義されます。

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ -5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 2 + 2 \times 4 & 0 \times 1 + 2 \times 3 \\ 3 \times 2 + 0 \times 4 & 3 \times 1 + 0 \times 3 \\ -5 \times 2 + 4 \times 4 & -5 \times 1 + 4 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+8 & 0+6 \\ 6+0 & 3+0 \\ -10+16 & -5+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 6 & 3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$

(ii) $2B$ の計算

$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$2B = 2 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$

(iii) $A^2$ の計算

$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}$

行列 $A$ は正方行列ではないため、$A^2$ は定義されません。

3. 最終的な答え

(0) の場合

(i) $AB$ は定義されない。なぜなら、$A$ の列数と $B$ の行数が一致しないから。

(ii) $2B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$

(iii) $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 25 & -1 \end{pmatrix}$

(1) の場合

(i) $AB = \begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 6 & 3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$

(ii) $2B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$

(iii) $A^2$ は定義されない。なぜなら、$A$ は正方行列ではないから。