レポート問題1では、3次元空間内の3点O, A, Bが与えられたとき、内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$、外積 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$、そして3点O, A, Bを通る平面の方程式を求めます。 レポート問題2では、行列A, Bが与えられたとき、積AB、2B、そしてAの2乗 $A^2$を計算します。

はい、承知いたしました。レポート問題1とレポート問題2の(0)と(1)について解答します。

1. 問題の内容

レポート問題1では、3次元空間内の3点O, A, Bが与えられたとき、内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$、外積 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$、そして3点O, A, Bを通る平面の方程式を求めます。

レポート問題2では、行列A, Bが与えられたとき、積AB、2B、そしてAの2乗 $A^2$を計算します。

2. 解き方の手順

レポート問題1:

(i) 内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$：ベクトルの成分同士を掛け合わせ、その結果を足し合わせます。

(ii) 外積 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$：行列式を用いて計算します。

(iii) 平面の方程式：平面上の任意の点を(x, y, z)とすると、ベクトル$\overrightarrow{OP}$($P=(x,y,z)$)はベクトル$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の線形結合で表せるので、$(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OP} = 0$から方程式を求めます。

レポート問題2:

(i) AB: 行列Aの行と行列Bの列の内積を計算します。

(ii) 2B: 行列Bの各要素に2を掛けます。

(iii) $A^2$: 行列Aと行列Aの積を計算します。

3. 最終的な答え

レポート問題1 (0):

* $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (2)(3) + (3)(0) + (1)(4) = 6 + 0 + 4 = 10$

* $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12-0)\vec{i} - (8-3)\vec{j} + (0-9)\vec{k} = (12, -5, -9)$

* 平面の方程式: $\overrightarrow{OP} = (x, y, z)$とすると、$(12, -5, -9) \cdot (x, y, z) = 0$より、$12x - 5y - 9z = 0$

レポート問題1 (1):

* $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (2)(4) + (3)(0) + (1)(3) = 8 + 0 + 3 = 11$

* $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (9-0)\vec{i} - (6-4)\vec{j} + (0-12)\vec{k} = (9, -2, -12)$

* 平面の方程式: $\overrightarrow{OP} = (x, y, z)$とすると、$(9, -2, -12) \cdot (x, y, z) = 0$より、$9x - 2y - 12z = 0$

レポート問題2 (0):

* $AB = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(2)+(-1)(0) & (3)(1)+(-1)(3) \\ (5)(2)+(2)(0) & (5)(1)+(2)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 10 & 11 \end{pmatrix}$

* $2B = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

* $A^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(3)+(-1)(5) & (3)(-1)+(-1)(2) \\ (5)(3)+(2)(5) & (5)(-1)+(2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 25 & -1 \end{pmatrix}$

レポート問題2 (1):

* $AB = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ -5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2)+(2)(4) & (0)(1)+(2)(3) \\ (3)(2)+(0)(4) & (3)(1)+(0)(3) \\ (-5)(2)+(4)(4) & (-5)(1)+(4)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 6 & 3 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$

* $2B = 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}$

* $A^2$：Aは3x2行列なので、積AAは定義されません。したがって、$A^2$は存在しません。