(1) 関数 $y = x^2 - 4x$ ($0 \le x \le 5$) の最大値と最小値を求める。 (2) 関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ ($-1 \le x \le 0$) の最小値が1となるように、定数 $c$ の値を定める。

## 解答

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 - 4x$ ($0 \le x \le 5$) の最大値と最小値を求める。

(2) 関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ ($-1 \le x \le 0$) の最小値が1となるように、定数 $c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1)

* まず、関数 $y = x^2 - 4x$ を平方完成する。

$y = (x - 2)^2 - 4$

* 次に、定義域 $0 \le x \le 5$ におけるグラフを考える。頂点は $(2, -4)$ で、下に凸な放物線である。

* 定義域の端の値を調べると、

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = 5$ のとき $y = 5^2 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$

* 頂点の $y$ 座標 $-4$ は定義域内で最小である。

* したがって、最大値は $x = 5$ のときの $y = 5$ であり、最小値は $x = 2$ のときの $y = -4$ である。

(2)

* まず、関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ を平方完成する。

$y = -3(x^2 + \frac{2}{3}x) + c$

$y = -3(x + \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + c$

* 次に、定義域 $-1 \le x \le 0$ におけるグラフを考える。頂点は $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3} + c)$ で、上に凸な放物線である。

* 軸 $x = -\frac{1}{3}$ は定義域に含まれるので、定義域における最小値は $x = -1$ または $x = 0$ のいずれかになる。

* 定義域の端の値を調べると、

$x = -1$ のとき $y = -3(-1)^2 - 2(-1) + c = -3 + 2 + c = -1 + c$

$x = 0$ のとき $y = -3(0)^2 - 2(0) + c = c$

* $-1 + c < c$ なので、最小値は $x = -1$ のときの $y = -1 + c$ である。

* 問題文より、最小値は $1$ なので、 $-1 + c = 1$ を解いて $c = 2$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：5、最小値：-4

(2) c = 2