与えられた2次式 $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を4倍して、係数を整数にします。

$4(\frac{1}{4}x^2 + x + 1) = x^2 + 4x + 4$

次に、得られた2次式を因数分解します。

$x^2 + 4x + 4$ は、$(x+2)^2$ と因数分解できます。

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

最後に、最初に4倍したので、全体を$\frac{1}{4}$倍します。

$\frac{1}{4}(x+2)^2 = (\frac{1}{2}(x+2))^2$

または、次のように考えることもできます。

$\frac{1}{4}x^2$は$(\frac{1}{2}x)^2$であり、$1$は$1^2$であることに着目します。

$(\frac{1}{2}x + 1)^2 = (\frac{1}{2}x)^2 + 2(\frac{1}{2}x)(1) + 1^2 = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$

よって、$\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = (\frac{1}{2}x + 1)^2$

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{2}x + 1)^2$

または

$\frac{1}{4}(x+2)^2$