ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、等式 $x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$ が成り立つような $x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、等式 $x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$ が成り立つような $x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式を展開し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ について整理します。

$x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$

$x\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{a} - y\vec{b} = 4y\vec{a} + \vec{b}$

$(x+y)\vec{a} + (x-y)\vec{b} = 4y\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立であると仮定すると、それぞれの係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$x+y = 4y$

$x-y = 1$

最初の式から $x=3y$ が得られます。これを2番目の式に代入すると、

$3y - y = 1$

$2y = 1$

$y = \frac{1}{2}$

したがって、$x = 3y = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{2}$, $y = \frac{1}{2}$