ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるとき、次の等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を定める問題です。 (1) $2x\vec{a} - 5\vec{b} = 8\vec{a} + (3y+1)\vec{b}$ (2) $x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であるとき、次の等式が成り立つように $x$ と $y$ の値を定める問題です。

(1) $2x\vec{a} - 5\vec{b} = 8\vec{a} + (3y+1)\vec{b}$

(2) $x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = 4y\vec{a} + \vec{b}$

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立なので、それぞれの係数を比較することで $x$ と $y$ の値を求めることができます。

$\vec{a}$ の係数を比較すると、

$2x = 8$

$\vec{b}$ の係数を比較すると、

$-5 = 3y + 1$

(2)

式を展開して整理します。

$x(\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a} - \vec{b}) = x\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{a} - y\vec{b} = (x+y)\vec{a} + (x-y)\vec{b}$

これが $4y\vec{a} + \vec{b}$ に等しいので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が線形独立であることから、それぞれの係数を比較することで $x$ と $y$ の値を求めることができます。

$\vec{a}$ の係数を比較すると、

$x + y = 4y$

$\vec{b}$ の係数を比較すると、

$x - y = 1$

(1)の解き方の詳細：

$2x = 8$ より $x = 4$

$-5 = 3y + 1$ より $3y = -6$ なので $y = -2$

(2)の解き方の詳細：

$x + y = 4y$ より $x = 3y$

$x - y = 1$ に代入すると、 $3y - y = 1$ より $2y = 1$ なので $y = \frac{1}{2}$

$x = 3y = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$, $y = -2$

(2) $x = \frac{3}{2}$, $y = \frac{1}{2}$