まず、関数 $y = x^2 - 4x$ を平方完成します。 $y = (x - 2)^2 - 4$

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1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 - 4x$ について、定義域 $0 < x \leq 5$ における最大値と最小値を求めよ。

(2) 関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ について、定義域 $-1 \leq x < 0$ における値域を求めよ。

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2. 解き方の手順

### (1) 関数 $y = x^2 - 4x$ の最大値・最小値

1. **平方完成:**

まず、関数 $y = x^2 - 4x$ を平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 4$

2. **頂点の確認:**

この関数のグラフは、頂点が $(2, -4)$ の下に凸な放物線です。

3. **定義域の確認:**

定義域は $0 < x \leq 5$ です。頂点の $x$ 座標である $x=2$ は、この定義域に含まれています。

4. **最大値の探索:**

$x=5$ のとき、$y = (5-2)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

$x$ が $0$ に近づくとき、$y$ は $0$ に近づきます。

5. **最小値の探索:**

頂点における $y$ 座標が最小値の候補です。$x=2$ のとき、$y = -4$

6. **定義域の端点における値の確認:**

定義域は$0 < x \le 5$なので、$x = 0$ のときの$y$の値は含みません。しかし、$x$が$0$に近いとき、$y$は$0$に近い値を取ることを考慮します。

7. **最大値と最小値の決定:**

$x = 5$ のとき最大値 $5$ をとり、$x = 2$ のとき最小値 $-4$ をとります。

### (2) 関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の値域

1. **平方完成:**

まず、関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ を平方完成します。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + 3(\frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

2. **頂点の確認:**

この関数のグラフは、頂点が $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ の上に凸な放物線です。

3. **定義域の確認:**

定義域は $-1 \leq x < 0$ です。頂点の $x$ 座標である $x = -\frac{2}{3}$ は、この定義域に含まれています。

4. **定義域の端点における値の確認:**

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -3 + 4 + 2 = 3$

$x$ が $0$ に近づくとき、$y$ は $2$ に近づきます。

5. **頂点における値の確認:**

頂点における $y$ 座標は $\frac{10}{3}$ です。

6. **最大値と最小値の決定:**

$x = -1$ のとき、$y = 3$

頂点の$y$座標の値$\frac{10}{3} \fallingdotseq 3.33$は定義域内で最大になります。

$x$が$0$に近づくとき、$y$は$2$に近づきます。

7. **値域の決定:**

したがって、値域は $3 \leq y < \frac{10}{3}$ です。

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3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5 (x=5のとき), 最小値: -4 (x=2のとき)

(2) 値域: $3 \leq y < \frac{10}{3}$