a, b, c が実数であるとき、以下の3つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げてください。 (1) $a = 3 \implies a^2 + 4a - 21 = 0$ (2) $ac = bc \implies a = b$ (3) $a + b$ と $ab$ がともに整数ならば、$a$ と $b$ はともに整数である。

1. 問題の内容

a, b, c が実数であるとき、以下の3つの命題の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げてください。

(1) $a = 3 \implies a^2 + 4a - 21 = 0$

(2) $ac = bc \implies a = b$

(3) $a + b$ と $ab$ がともに整数ならば、$a$ と $b$ はともに整数である。

2. 解き方の手順

(1) 命題 $a = 3 \implies a^2 + 4a - 21 = 0$ の真偽を判定します。

$a=3$ を $a^2 + 4a - 21$ に代入すると $3^2 + 4 \times 3 - 21 = 9 + 12 - 21 = 0$ となり、与えられた式を満たします。したがって、この命題は真です。

(2) 命題 $ac = bc \implies a = b$ の真偽を判定します。

$ac = bc$ のとき、$a = b$ とは限りません。

例えば、$c = 0$ のとき、$a$ と $b$ が異なっていても $ac = bc = 0$ となります。

反例として、$a = 1$, $b = 2$, $c = 0$ を挙げることができます。$ac = 1 \times 0 = 0$ であり、$bc = 2 \times 0 = 0$ なので、$ac = bc$ ですが、$a \neq b$ です。したがって、この命題は偽です。

(3) 命題 "$a + b$ と $ab$ がともに整数ならば、$a$ と $b$ はともに整数である" の真偽を判定します。

この命題は偽です。

反例として、$a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{2}$ を考えます。

$a + b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ であり、$ab = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ となります。$a + b$ は整数ですが、$ab$ は整数ではありませんので、$a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$は反例になりません。

$a = \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$ を考えます。

$a + b = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$ であり、$ab = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ となります。$a + b$ は整数ですが、$ab$ は整数ではありませんので、$a=\frac{1}{2}, b=\frac{3}{2}$は反例になりません。

$a = \frac{1}{2}, b = \frac{5}{2}$ を考えます。

$a + b = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 3$ であり、$ab = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{4}$ となります。$a + b$ は整数ですが、$ab$ は整数ではありませんので、$a=\frac{1}{2}, b=\frac{5}{2}$は反例になりません。

$a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{2}$ を考えます。

$a + b = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ であり、$ab = \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$ となります。$a + b$ は整数ですが、$ab$ は整数ではありませんので、$a=\frac{1}{2}, b=-\frac{1}{2}$は反例になりません。

$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{4}$は反例ではありません。

$a = 2 + \sqrt{2}, b = 2 - \sqrt{2}$ を考えます。

$a + b = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4$ であり、$ab = (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$ となります。

しかし、$a$ と $b$ は整数ではありません。

したがって、$a = 2 + \sqrt{2}, b = 2 - \sqrt{2}$ は反例となります。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽、反例: $a = 1$, $b = 2$, $c = 0$

(3) 偽、反例: $a = 2 + \sqrt{2}, b = 2 - \sqrt{2}$