以下の連立一次方程式が解を持つように定数 $b$, $c$ の値を定め、その解を求める。 $\begin{cases} x+6y+3z+4u = b \\ 2x+3y-3z-u = 9 \\ -3x+2y+11z+8u = -20 \\ 4x-y-13z-9u = c \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式が解を持つように定数 $b$, $c$ の値を定め、その解を求める。

$\begin{cases}

x+6y+3z+4u = b \\

2x+3y-3z-u = 9 \\

-3x+2y+11z+8u = -20 \\

4x-y-13z-9u = c

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を行列で表現する。

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 \\

2 & 3 & -3 & -1 \\

-3 & 2 & 11 & 8 \\

4 & -1 & -13 & -9

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z \\ u

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

b \\ 9 \\ -20 \\ c

\end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列を作り、行基本変形を行う。

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

2 & 3 & -3 & -1 & | & 9 \\

-3 & 2 & 11 & 8 & | & -20 \\

4 & -1 & -13 & -9 & | & c

\end{pmatrix}$

(2行目) - 2 * (1行目):

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

0 & -9 & -9 & -9 & | & 9-2b \\

-3 & 2 & 11 & 8 & | & -20 \\

4 & -1 & -13 & -9 & | & c

\end{pmatrix}$

(3行目) + 3 * (1行目):

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

0 & -9 & -9 & -9 & | & 9-2b \\

0 & 20 & 20 & 20 & | & -20+3b \\

4 & -1 & -13 & -9 & | & c

\end{pmatrix}$

(4行目) - 4 * (1行目):

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

0 & -9 & -9 & -9 & | & 9-2b \\

0 & 20 & 20 & 20 & | & -20+3b \\

0 & -25 & -25 & -25 & | & c-4b

\end{pmatrix}$

(2行目) / (-9):

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & | & (2b-9)/9 \\

0 & 20 & 20 & 20 & | & -20+3b \\

0 & -25 & -25 & -25 & | & c-4b

\end{pmatrix}$

(3行目) - 20 * (2行目):

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & | & (2b-9)/9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & -20+3b - 20(2b-9)/9 \\

0 & -25 & -25 & -25 & | & c-4b

\end{pmatrix}$

(4行目) + 25 * (2行目):

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & | & (2b-9)/9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & (-180+27b-40b+180)/9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & c-4b + 25(2b-9)/9

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

1 & 6 & 3 & 4 & | & b \\

0 & 1 & 1 & 1 & | & (2b-9)/9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & -13b/9 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & (9c-36b+50b-225)/9

\end{pmatrix}$

解を持つためには、以下の条件が必要。

$-13b/9 = 0$

$(9c+14b-225)/9 = 0$

したがって、$b=0$。

$9c - 225 = 0$

$c = 25$

$b=0$、$c=25$ のとき、連立方程式は次のようになる。

$\begin{cases}

x+6y+3z+4u = 0 \\

y+z+u = -1

\end{cases}$

$x = -6y - 3z - 4u$

$y = -1 - z - u$

$x = -6(-1-z-u) - 3z - 4u = 6+6z+6u - 3z - 4u = 6 + 3z + 2u$

よって、解は $x = 6+3z+2u$, $y = -1-z-u$。 $z, u$ は任意。

3. 最終的な答え

$b=0$, $c=25$

解は $x=6+3z+2u$, $y=-1-z-u$, $z, u$ は任意。