与えられた連立方程式を掃き出し法で解く問題です。3つの連立方程式があります。ここでは、3番目の連立方程式（行列形式で与えられているもの）を解きます。問題の連立方程式は次のとおりです。 $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を掃き出し法で解く問題です。3つの連立方程式があります。ここでは、3番目の連立方程式（行列形式で与えられているもの）を解きます。問題の連立方程式は次のとおりです。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

掃き出し法を使って、連立方程式を解きます。与えられた行列を拡大行列の形で書き、行基本変形を使って階段行列にします。

拡大行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

次に、2行目に1行目を足します。また、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}$

次に、3行目を $-2$ で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

次に、1行目から3行目の $-1$ 倍を引きます。また、2行目から3行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

最後に、1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

これにより、$x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = 1$

$y = -1$

$z = 2$