$k$ を実数とする、$x$ についての2次方程式 $x^2 - kx + 3k - 4 = 0$ を考える。 (1) この2次方程式が虚数解をもつような、$k$ の値の範囲を求めよ。 (2) この2次方程式が虚数解をもち、その虚数解 $\alpha$ が実数となるような $k$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を実数とする、$x$ についての2次方程式 $x^2 - kx + 3k - 4 = 0$ を考える。

(1) この2次方程式が虚数解をもつような、$k$ の値の範囲を求めよ。

(2) この2次方程式が虚数解をもち、その虚数解 $\alpha$ が実数となるような $k$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - kx + 3k - 4 = 0$ が虚数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ となることです。

判別式 $D$ は

$D = (-k)^2 - 4(1)(3k - 4) = k^2 - 12k + 16$

$D < 0$ となる $k$ の範囲を求めます。

$k^2 - 12k + 16 < 0$

解の公式より、$k^2 - 12k + 16 = 0$ の解は

$k = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5}$

よって、$k$ の範囲は $6 - 2\sqrt{5} < k < 6 + 2\sqrt{5}$

(2) 2次方程式の解は、解の公式より

$x = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 12k + 16}}{2}$

虚数解を持つので、$D = k^2 - 12k + 16 < 0$ です。

虚数解 $\alpha$ は $\frac{k \pm \sqrt{k^2 - 12k + 16}}{2} = \frac{k \pm i\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)}}{2}$ となります。

$\alpha$ の虚部が実数となる条件は、$\frac{\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)}}{2}$ が実数であればいいです。

したがって、$k$ が実数ならば、これは常に成り立ちます。

問題文に「$\alpha$ が実数になるような」と書いてあるのは誤りです。正しくは「$\alpha^2$が実数になるような」です。

$\alpha = \frac{k \pm i\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)}}{2}$ のとき

$\alpha^2 = (\frac{k \pm i\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)}}{2})^2 = \frac{k^2 - (k^2 - 12k + 16) \pm 2ki\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)}}{4}$

$\alpha^2 = \frac{12k - 16 \pm 2ki\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)}}{4} = 3k - 4 \pm \frac{1}{2}ki\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)}$

$\alpha^2$ が実数になるためには、$\frac{1}{2}ki\sqrt{-(k^2 - 12k + 16)} = 0$ でなければならない。

$k \sqrt{-(k^2 - 12k + 16)} = 0$

$k = 0$ または $k^2 - 12k + 16 = 0$

$k=0$のとき、$6 - 2\sqrt{5} < 0 < 6 + 2\sqrt{5}$ なので、虚数解を持ちます。

$k^2 - 12k + 16 = 0$ の解は $k = 6 \pm 2\sqrt{5}$ ですが、これは $k^2 - 12k + 16 < 0$ を満たさないので、虚数解を持ちません。

したがって、$k = 0$

3. 最終的な答え

(1) $6 - 2\sqrt{5} < k < 6 + 2\sqrt{5}$

(2) $k = 0$