実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 2$ を満たすとき、$2x + y$ のとりうる値の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 2$ を満たすとき、$2x + y$ のとりうる値の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x+y=k$ とおく。このとき、$y = k-2x$ となる。

これを $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 + (k-2x)^2 = 2$

$x^2 + k^2 - 4kx + 4x^2 = 2$

$5x^2 - 4kx + k^2 - 2 = 0$

$x$ は実数なので、この $x$ に関する二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ であることである。

$D = (-4k)^2 - 4(5)(k^2 - 2) = 16k^2 - 20k^2 + 40 = -4k^2 + 40 \ge 0$

$4k^2 \le 40$

$k^2 \le 10$

$-\sqrt{10} \le k \le \sqrt{10}$

したがって、$2x+y$ の最大値は $\sqrt{10}$ であり、最小値は $-\sqrt{10}$ である。

次に、最大値と最小値を与える $x, y$ の値を求める。

(1) 最大値 $\sqrt{10}$ のとき、$k = \sqrt{10}$ なので、

$5x^2 - 4\sqrt{10}x + 10 - 2 = 0$

$5x^2 - 4\sqrt{10}x + 8 = 0$

$x = \frac{4\sqrt{10} \pm \sqrt{160 - 160}}{10} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$

$y = \sqrt{10} - 2x = \sqrt{10} - 2\left(\frac{2\sqrt{10}}{5}\right) = \sqrt{10} - \frac{4\sqrt{10}}{5} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(2) 最小値 $-\sqrt{10}$ のとき、$k = -\sqrt{10}$ なので、

$5x^2 + 4\sqrt{10}x + 10 - 2 = 0$

$5x^2 + 4\sqrt{10}x + 8 = 0$

$x = \frac{-4\sqrt{10} \pm \sqrt{160 - 160}}{10} = \frac{-4\sqrt{10}}{10} = \frac{-2\sqrt{10}}{5}$

$y = -\sqrt{10} - 2x = -\sqrt{10} - 2\left(\frac{-2\sqrt{10}}{5}\right) = -\sqrt{10} + \frac{4\sqrt{10}}{5} = \frac{-\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

$2x + y$ の最大値は $\sqrt{10}$ で、そのときの $x, y$ の値は $x = \frac{2\sqrt{10}}{5}, y = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$2x + y$ の最小値は $-\sqrt{10}$ で、そのときの $x, y$ の値は $x = \frac{-2\sqrt{10}}{5}, y = \frac{-\sqrt{10}}{5}$