与えられた連立方程式を掃き出し法で解く。 (1) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} -x + z = 1 \\ -y + 4z = 7 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を掃き出し法で解く。

(1) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} -x + z = 1 \\ -y + 4z = 7 \\ 2x + y + 2z = 3 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた連立方程式を行列で表現する。

$\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 8 \end{bmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を1行目を使って掃き出す。

2行目 - 3 * 1行目 -> 2行目

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 8 & -24 \end{bmatrix}$

2行目を8で割る。

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$

1行目を2行目を使って掃き出す。

1行目 + 2 * 2行目 -> 1行目

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$

したがって、$x = 2$, $y = -3$

(2)

与えられた連立方程式を行列で表現する。

$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

3行目を1行目を使って掃き出す。

3行目 + 2 * 1行目 -> 3行目

$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}$

3行目を2行目を使って掃き出す。

3行目 + 2行目 -> 3行目

$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & 12 \end{bmatrix}$

3行目を8で割る。

$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$

2行目を3行目を使って掃き出す。

2行目 - 4 * 3行目 -> 2行目

$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$

1行目を3行目を使って掃き出す。

1行目 - 3行目 -> 1行目

$\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$

1行目、2行目をそれぞれ-1倍する

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$

したがって、$x = \frac{1}{2}$, $y = -1$, $z = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, y = -3$

(2) $x = \frac{1}{2}, y = -1, z = \frac{3}{2}$