$x$ の2次不等式 $x^2 - (a+1)x + a < 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$x$ の2次不等式 $x^2 - (a+1)x + a < 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式の左辺を因数分解します。

$x^2 - (a+1)x + a = (x-a)(x-1)$

したがって、不等式は $(x-a)(x-1) < 0$ となります。

次に、$x-a=0$ と $x-1=0$ を満たす $x$ の値を探します。

$x=a$ と $x=1$ です。

$a$ と $1$ の大小関係によって場合分けします。

(i) $a < 1$ のとき

$x < a$ または $x > 1$ であれば、 $(x-a)(x-1) > 0$ となり、

$a < x < 1$ であれば、 $(x-a)(x-1) < 0$ となります。

したがって、$a < x < 1$ が解です。

(ii) $a = 1$ のとき

$(x-1)(x-1) = (x-1)^2 < 0$

$(x-1)^2$ は常に0以上なので、$(x-1)^2 < 0$ を満たす $x$ は存在しません。

したがって、解なしです。

(iii) $a > 1$ のとき

$x < 1$ または $x > a$ であれば、 $(x-a)(x-1) > 0$ となり、

$1 < x < a$ であれば、 $(x-a)(x-1) < 0$ となります。

したがって、$1 < x < a$ が解です。

3. 最終的な答え

$a < 1$ のとき： $a < x < 1$

$a = 1$ のとき： 解なし

$a > 1$ のとき： $1 < x < a$