$\log_{10} 2 = a$, $\log_{10} 3 = b$ のとき、以下の式を $a, b$ で表す問題です。 (1) $\log_{10} \frac{3}{8}$ (2) $\log_{10} \sqrt[3]{6}$ (3) $\log_2 3$ (4) $\log_{10} 15$

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = a$, $\log_{10} 3 = b$ のとき、以下の式を $a, b$ で表す問題です。

(1) $\log_{10} \frac{3}{8}$

(2) $\log_{10} \sqrt[3]{6}$

(3) $\log_2 3$

(4) $\log_{10} 15$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{10} \frac{3}{8}$

$\log_{10} \frac{3}{8} = \log_{10} 3 - \log_{10} 8$

$= \log_{10} 3 - \log_{10} 2^3$

$= \log_{10} 3 - 3\log_{10} 2$

$= b - 3a$

(2) $\log_{10} \sqrt[3]{6}$

$\log_{10} \sqrt[3]{6} = \log_{10} 6^{\frac{1}{3}}$

$= \frac{1}{3} \log_{10} 6$

$= \frac{1}{3} \log_{10} (2 \times 3)$

$= \frac{1}{3} (\log_{10} 2 + \log_{10} 3)$

$= \frac{1}{3} (a + b)$

$= \frac{a+b}{3}$

(3) $\log_2 3$

$\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}$

$= \frac{b}{a}$

(4) $\log_{10} 15$

$\log_{10} 15 = \log_{10} (3 \times 5)$

$= \log_{10} 3 + \log_{10} 5$

$= \log_{10} 3 + \log_{10} \frac{10}{2}$

$= \log_{10} 3 + \log_{10} 10 - \log_{10} 2$

$= b + 1 - a$

$= 1 + b - a$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10} \frac{3}{8} = b - 3a$

(2) $\log_{10} \sqrt[3]{6} = \frac{a+b}{3}$

(3) $\log_2 3 = \frac{b}{a}$

(4) $\log_{10} 15 = 1 + b - a$