(1) $0 \le M \le 99$ とする。$M(M-1)$ が25で割り切れるような $M$ をすべて求めよ。 (2) $100 \le N \le 199$ とする。$N^2$ と $N$ の下2桁が一致するような $N$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) $0 \le M \le 99$ とする。$M(M-1)$ が25で割り切れるような $M$ をすべて求めよ。

(2) $100 \le N \le 199$ とする。$N^2$ と $N$ の下2桁が一致するような $N$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $M(M-1)$ が25で割り切れるということは、$M(M-1) \equiv 0 \pmod{25}$ である。

つまり、$M(M-1) = 25k$ （$k$は整数）となる。

$M$ と $M-1$ は互いに素なので、$M$ または $M-1$ のどちらかが25の倍数になるか、$M$と$M-1$がそれぞれ5の倍数になる場合を考える。

$M$ が 25 の倍数の場合: $M = 25, 50, 75$

$M-1$ が 25 の倍数の場合: $M-1 = 25, 50, 75$ より $M = 26, 51, 76$

$M$ が5の倍数で、$M-1$が5の倍数の場合、$M = 5k$ かつ $M = 5l+1$ ($k,l$は整数)

$M \equiv 0 \pmod{5}$ かつ $M \equiv 1 \pmod{5}$となるが、$M \equiv 0 \pmod{5}$ かつ $M \equiv 1 \pmod{5}$が同時に成り立つことはない。

よって、$M = 0, 1, 25, 26, 50, 51, 75, 76$ が候補となる。

$M = 0$ のとき $M(M-1) = 0$, $M=1$ のとき $M(M-1) = 0$

$M=25$ のとき $M(M-1) = 25(24) = 600 = 25(24)$

$M=26$ のとき $M(M-1) = 26(25) = 650 = 25(26)$

$M=50$ のとき $M(M-1) = 50(49) = 2450 = 25(98)$

$M=51$ のとき $M(M-1) = 51(50) = 2550 = 25(102)$

$M=75$ のとき $M(M-1) = 75(74) = 5550 = 25(222)$

$M=76$ のとき $M(M-1) = 76(75) = 5700 = 25(228)$

したがって、$M = 0, 1, 25, 26, 50, 51, 75, 76$.

(2) $N^2$ と $N$ の下2桁が一致するということは、$N^2 \equiv N \pmod{100}$ である。

つまり、$N^2 - N = N(N-1) \equiv 0 \pmod{100}$ である。

$N(N-1)$ が 100 で割り切れる。$N(N-1) = 100k$ ($k$は整数)

$100 = 2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25$

$N$ と $N-1$ は互いに素なので、$N$または$N-1$が100の倍数となるか、$N$と$N-1$の一方が4の倍数、もう一方が25の倍数になるかのいずれか。

$N = 100a, N = 100a+1$ （$a$は整数）の場合、$N = 100, 200$

$N-1 = 100a, N = 100a+1$ よって、$N=101$

$N-1 = 100$ より $N = 101$ は範囲外

$N \equiv 0 \pmod{4}$ かつ $N-1 \equiv 0 \pmod{25}$ のとき

$N = 4k$ かつ $N = 25l+1$ ($k,l$は整数)

$4k = 25l+1$

$4k \equiv 1 \pmod{25}$

$24k \equiv 6 \pmod{25}$

$-k \equiv 6 \pmod{25}$

$k \equiv -6 \equiv 19 \pmod{25}$

$k = 25m + 19$ ($m$は整数)

$N = 4(25m+19) = 100m + 76$

$100 \le 100m+76 \le 199$

$24 \le 100m \le 123$

$0.24 \le m \le 1.23$

$m=1$ のとき $N = 176$

$N \equiv 0 \pmod{25}$ かつ $N-1 \equiv 0 \pmod{4}$ のとき

$N = 25k$ かつ $N = 4l+1$ ($k,l$は整数)

$25k = 4l+1$

$25k \equiv 1 \pmod{4}$

$k \equiv 1 \pmod{4}$

$k = 4m+1$ ($m$は整数)

$N = 25(4m+1) = 100m + 25$

$100 \le 100m+25 \le 199$

$75 \le 100m \le 174$

$0.75 \le m \le 1.74$

$m=1$ のとき $N = 125$

確認

$N=100$: $N^2 = 10000 \equiv 0 \pmod{100}$, $N \equiv 0 \pmod{100}$

$N=125$: $N^2 = 15625 \equiv 25 \pmod{100}$, $N \equiv 25 \pmod{100}$

$N=176$: $N^2 = 30976 \equiv 76 \pmod{100}$, $N \equiv 76 \pmod{100}$

3. 最終的な答え

(1) $M = 0, 1, 25, 26, 50, 51, 75, 76$

(2) $N = 100, 125, 176$