290の(1)の問題は、$\theta$ が方程式 $\cos{2\theta} - 2\sin{\theta} = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$\sin{\theta}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

290の(1)の問題は、$\theta$ が方程式 $\cos{2\theta} - 2\sin{\theta} = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$\sin{\theta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos{2\theta}$ を $\sin{\theta}$ を用いて表します。

$\cos{2\theta} = 1 - 2\sin^2{\theta}$ です。

これを元の式に代入すると、

$1 - 2\sin^2{\theta} - 2\sin{\theta} = \frac{1}{2}$

両辺に2をかけて整理すると、

$2 - 4\sin^2{\theta} - 4\sin{\theta} = 1$

$4\sin^2{\theta} + 4\sin{\theta} - 1 = 0$

ここで、$x = \sin{\theta}$ とおくと、

$4x^2 + 4x - 1 = 0$

この2次方程式を解きます。解の公式より、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+16}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\sin{\theta} = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$ または $\sin{\theta} = \frac{-1 - \sqrt{2}}{2}$

ここで、$-1 \le \sin{\theta} \le 1$ であることを考慮します。

$\frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \approx \frac{-1 - 1.414}{2} \approx -1.207$ なので、これは不適です。

したがって、$\sin{\theta} = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$