与えられた方程式を解きます。 $3 = \sqrt{x(2 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解きます。

$3 = \sqrt{x(2 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}$

2. 解き方の手順

まず、方程式の両辺を2乗します。

$3^2 = (\sqrt{x(2 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})})^2$

$9 = x(2 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})$

次に、右辺を展開します。

$9 = 2x - \frac{x}{\sqrt[3]{x}}$

$9 = 2x - x^{1-\frac{1}{3}}$

$9 = 2x - x^{\frac{2}{3}}$

ここで、$x^{\frac{1}{3}} = y$ と置換します。すると、$x = y^3$ となり、$x^{\frac{2}{3}} = y^2$ となります。

$9 = 2y^3 - y^2$

$2y^3 - y^2 - 9 = 0$

この3次方程式を解きます。

$y = \frac{3}{2}$ が一つの解であることが分かります。

$(2y-3)(y^2+y+3)=0$

$y^2+y+3$ の判別式は $1^2-4 \times 1 \times 3 = 1-12 = -11$となり、実数解を持ちません。

したがって、$2y - 3 = 0$ から $y = \frac{3}{2}$ が唯一の実数解です。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ なので、$x = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{27}{8}$