複素数平面上に点$\alpha = -1 + 2i$ と点$\beta = 3 - i$ が与えられています。点$\beta$ を点$\alpha$ を中心として$\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点$\gamma$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数平面上に点$\alpha = -1 + 2i$ と点$\beta = 3 - i$ が与えられています。点$\beta$ を点$\alpha$ を中心として$\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点$\gamma$ を求めます。

2. 解き方の手順

点$\beta$ を点$\alpha$ を中心として$\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点を$\gamma$ とすると、

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$

が成り立ちます。

したがって、

$\gamma - \alpha = i(\beta - \alpha)$

$\gamma = \alpha + i(\beta - \alpha)$

$\alpha = -1 + 2i$、$\beta = 3 - i$ を代入すると、

$\beta - \alpha = (3 - i) - (-1 + 2i) = 4 - 3i$

$\gamma = (-1 + 2i) + i(4 - 3i) = -1 + 2i + 4i - 3i^2 = -1 + 2i + 4i + 3 = 2 + 6i$

3. 最終的な答え

$\gamma = 2 + 6i$