$0 < x \le y \le z$ である整数 $x, y, z$ について、以下の問題を解く。 (1) $xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 5$ を満たす整数 $x, y, z$ の組をすべて求める。 (2) $xyz = x + y + z$ を満たす整数 $x, y, z$ の組をすべて求める。

1. 問題の内容

$0 < x \le y \le z$ である整数 $x, y, z$ について、以下の問題を解く。

(1) $xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 5$ を満たす整数 $x, y, z$ の組をすべて求める。

(2) $xyz = x + y + z$ を満たす整数 $x, y, z$ の組をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

$xyz + x + y + z = xy + yz + zx + 5$

$xyz - xy - yz - zx + x + y + z = 5$

$(x-1)(y-1)(z-1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1 = 5 + 1 = 6$

$0 < x \le y \le z$ より、$x-1, y-1, z-1$ は整数であり、$x-1 \ge -1, y-1 \ge -1, z-1 \ge -1$ を満たす。

また、$x-1 \le y-1 \le z-1$ である。

$6$ の約数は $1, 2, 3, 6$ である。

$6 = 1 \cdot 1 \cdot 6 = 1 \cdot 2 \cdot 3$

(i) $x-1 = 1, y-1 = 1, z-1 = 6$ のとき、$x = 2, y = 2, z = 7$

(ii) $x-1 = 1, y-1 = 2, z-1 = 3$ のとき、$x = 2, y = 3, z = 4$

(2)

$xyz = x + y + z$

$x \le y \le z$ より、$x, y, z$ は正の整数である。

$xyz = x + y + z \le 3z$ より、$xy \le 3$

$x, y$ は正の整数なので、$x=1$ または $x=2$ または $x=3$ となる。

(i) $x = 1$ のとき、$yz = 1 + y + z$ より、$yz - y - z = 1$

$(y-1)(z-1) = yz - y - z + 1 = 1 + 1 = 2$

$y-1 \le z-1$ であり、$y-1$ と $z-1$ は整数であるから、

$y-1 = 1, z-1 = 2$ となり、$y = 2, z = 3$

したがって、$(x, y, z) = (1, 2, 3)$

(ii) $x = 2$ のとき、$2yz = 2 + y + z$

$4yz = 4 + 2y + 2z$

$4yz - 2y - 2z + 1 = 5$

$(2y-1)(2z-1) = 5$

$2y-1 \le 2z-1$ であり、$2y-1$ と $2z-1$ は整数であるから、

$2y-1 = 1, 2z-1 = 5$ となり、$y = 1, z = 3$

これは $x \le y$ に反する。

(iii) $x = 3$ のとき、$3yz = 3 + y + z$

$9yz = 9 + 3y + 3z$

$9yz - 3y - 3z + 1 = 10$

$(3y-1)(3z-1) = 10$

$3y-1 \le 3z-1$ であり、$3y-1$ と $3z-1$ は整数であるから、

$3y-1 = 1, 3z-1 = 10$ または $3y-1 = 2, 3z-1 = 5$

$3y-1 = 1$ のとき、$y = \frac{2}{3}$ となり不適。

$3y-1 = 2$ のとき、$y = 1$ となり、$x \le y$ に反する。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y, z) = (2, 2, 7), (2, 3, 4)$

(2) $(x, y, z) = (1, 2, 3)$