(1) 初項から第5項までの和が20、第6項から第10項までの和が95である等差数列の一般項を求める。 (2) 第3項が6、初項から第3項までの和が42である等比数列の一般項を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 初項から第5項までの和が20、第6項から第10項までの和が95である等差数列の一般項を求める。

(2) 第3項が6、初項から第3項までの和が42である等比数列の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の場合

初項を $a$、公差を $d$とすると、初項から第n項までの和 $S_n$ は以下の式で表されます。

$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$

問題文より、

$S_5 = \frac{5}{2}[2a + 4d] = 20$

$S_{10} - S_5 = \frac{10}{2}[2a + 9d] - \frac{5}{2}[2a + 4d] = 95$

上記の2つの式を整理します。

$5(2a+4d) = 40$

$2a+4d = 8$

$10(2a+9d) - 5(2a+4d) = 190$

$20a + 90d - 10a - 20d = 190$

$10a + 70d = 190$

$a+7d = 19$

$2a+4d=8$より $a+2d = 4$。

$a+7d=19$と連立方程式を解きます。

$(a+7d) - (a+2d) = 19-4$

$5d = 15$

$d = 3$

$a + 2d = 4$に代入して、$a + 2(3) = 4$ より $a = 4 - 6 = -2$。

したがって、一般項 $a_n$ は $a_n = a + (n-1)d = -2 + (n-1)3 = 3n - 5$。

(2) 等比数列の場合

初項を $a$、公比を $r$ とすると、第n項は $ar^{n-1}$ で表され、初項から第n項までの和 $S_n$ は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$) で表されます。

問題文より、第3項は6なので、

$ar^2 = 6$

初項から第3項までの和は42なので、

$S_3 = a + ar + ar^2 = a + ar + 6 = 42$

$a + ar = 36$

$a(1+r) = 36$

$ar^2 = 6$ より $a = \frac{6}{r^2}$。これを$a(1+r) = 36$に代入すると、

$\frac{6}{r^2}(1+r) = 36$

$6(1+r) = 36r^2$

$1+r = 6r^2$

$6r^2 - r - 1 = 0$

$(3r+1)(2r-1) = 0$

よって $r = -\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$。

$r = -\frac{1}{3}$のとき、$a = \frac{6}{(-\frac{1}{3})^2} = 6 \cdot 9 = 54$。

一般項は $a_n = 54(-\frac{1}{3})^{n-1}$。

$r = \frac{1}{2}$のとき、$a = \frac{6}{(\frac{1}{2})^2} = 6 \cdot 4 = 24$。

一般項は $a_n = 24(\frac{1}{2})^{n-1}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n - 5$

(2) $a_n = 54(-\frac{1}{3})^{n-1}$ または $a_n = 24(\frac{1}{2})^{n-1}$